Многотельная система — это изучение динамического поведения взаимосвязанных жестких или гибких тел, каждое из которых может подвергаться большим поступательным и вращательным перемещениям.
Систематическое рассмотрение динамического поведения взаимосвязанных тел привело к созданию большого числа важных формализмов многотельных тел в области механики. Простейшие тела или элементы многотельной системы рассматривались Ньютоном (свободная частица) и Эйлером (твердое тело). Эйлер ввел силы реакции между телами. Позже был выведен ряд формализмов, упомянем лишь формализмы Лагранжа, основанные на минимальных координатах, и вторую формулировку, вносящую ограничения.
В основном движение тел описывается их кинематическим поведением. Динамическое поведение является результатом равновесия приложенных сил и скорости изменения импульса.
В настоящее время термин «многотельная система» связан с большим количеством инженерных областей исследований, особенно в робототехнике и динамике транспортных средств. В качестве важной особенности формализмы систем многих тел обычно предлагают алгоритмический, автоматизированный способ моделирования, анализа, симуляции и оптимизации произвольного движения, возможно, тысяч взаимосвязанных тел.
В то время как отдельные тела или части механической системы подробно изучаются с помощью методов конечных элементов, поведение всей многотельной системы обычно изучается с помощью методов многотельной системы в следующих областях:
В следующем примере показана типичная система нескольких тел. Обычно его называют кривошипно-ползунковым механизмом. Механизм предназначен для преобразования вращательного движения в поступательное с помощью вращающейся ведущей балки, шатуна и тела скольжения. В настоящем примере в качестве шатуна используется гибкое тело. Скользящая масса не может вращаться, а для соединения тел используются три вращающихся соединения. Хотя каждое тело имеет шесть степеней свободы в пространстве, кинематические условия приводят к одной степени свободы для всей системы.
Движение механизма можно увидеть в следующей gif-анимации:
Тело обычно считают жесткой или гибкой частью механической системы (не путать с телом человека). Примером тела является рука робота, колесо или ось автомобиля или человеческое предплечье. Звено — это соединение двух и более тел или тела с землей. Связь определяется определенными (кинематическими) ограничениями, ограничивающими относительное движение тел. Типичные ограничения:
В системах многих тел есть два важных термина: степень свободы и
условие ограничения.
Степени свободы обозначают количество независимых кинематических возможностей перемещения. Другими словами, степени свободы — это минимальное количество параметров, необходимых для полного определения положения объекта в пространстве.
Твердое тело при общем пространственном движении имеет шесть степеней свободы, из них три поступательные степени свободы и три вращательные степени свободы. При плоском движении тело имеет только три степени свободы, при этом только одну вращательную и две поступательные степени свободы.
Степени свободы плоского движения можно легко продемонстрировать с помощью компьютерной мыши. Степени свободы: влево-вправо, вперед-назад и вращение вокруг вертикальной оси.
Условие ограничения подразумевает ограничение кинематических степеней свободы одного или нескольких тел. Классическое ограничение обычно представляет собой алгебраическое уравнение, определяющее относительное перемещение или вращение между двумя телами. Кроме того, существуют возможности ограничить относительную скорость между двумя телами или телом и землей. Это, например, случай катящегося диска, где точка диска, контактирующая с землей, всегда имеет нулевую относительную скорость по отношению к земле. В случае, когда условие ограничения скорости не может быть проинтегрировано во времени для формирования ограничения положения, оно называется неголономным. Это относится к общему ограничению качения.
В дополнение к этому существуют неклассические ограничения, которые могут даже ввести новую неизвестную координату, например скользящее соединение, когда точке тела разрешено перемещаться по поверхности другого тела. В случае контакта условие ограничения основано на неравенствах и, следовательно, такое ограничение не ограничивает навсегда степени свободы тел.
Уравнения движения используются для описания динамического поведения системы многих тел. Каждая формулировка системы нескольких тел может привести к различному математическому виду уравнений движения, в то время как физика, лежащая в основе, одна и та же. Движение связанных тел описывается с помощью уравнений, которые в основном вытекают из второго закона Ньютона. Уравнения записаны для общего движения одиночных тел с добавлением условий связи. Обычно уравнения движения выводятся из уравнений Ньютона-Эйлера или уравнений Лагранжа.
Движение твердых тел описывается с помощью
Эти типы уравнений движения основаны на так называемых избыточных координатах, поскольку уравнения используют больше координат, чем степеней свободы базовой системы. Обобщенные координаты обозначаются как , матрица масс представлена как , которая может зависеть от обобщенных координат.
представляет условия ограничений, а матрица (иногда называемая якобианом) является производной условий ограничений по координатам. Эта матрица используется для применения сил ограничений к соответствующим уравнениям тел. Компоненты вектора также обозначаются как множители Лагранжа. В твердом теле возможные координаты можно разделить на две части,
где представляет переводы, а описывает вращения.
В случае твердых тел так называемый квадратичный вектор скорости используется для описания Кориолиса и центробежных членов в уравнениях движения. Название связано с тем, что включает квадратичные члены скоростей и получается из-за частных производных кинетической энергии тела.
Множитель Лагранжа связан с условием ограничения и обычно представляет сила или момент, действующие в «направлении» ограничивающей степени свободы. Множители Лагранжа не совершают «работы» по сравнению с внешними силами, изменяющими потенциальную энергию тела.
Уравнения движения (1,2) представлены с помощью избыточных координат, что означает, что координаты не являются независимыми. Примером этого может служить показанный выше кривошипно-ползунковый механизм, в котором каждое тело имеет шесть степеней свободы, а большая часть координат зависит от движения других тел. Например, для описания движения ползуна-кривошипа с твердыми телами можно использовать 18 координат и 17 ограничений. Однако, поскольку существует только одна степень свободы, уравнение движения можно также представить с помощью одного уравнения и одной степени свободы, используя, например, угол ведущего звена как степень свободы. Последняя формулировка имеет минимальное число координат для описания движения системы и поэтому может быть названа формулировкой минимальных координат. Преобразование избыточных координат в минимальные иногда затруднительно и возможно только в случае голономных связей и без кинематических петель. Для вывода уравнений движения с минимальными координатами было разработано несколько алгоритмов, упомянем только так называемую рекурсивную формулировку. Полученные уравнения легче решать, поскольку при отсутствии условий ограничений для интегрирования уравнений движения во времени можно использовать стандартные методы интегрирования по времени. Хотя сокращенную систему можно решить более эффективно, преобразование координат может оказаться дорогостоящим в вычислительном отношении. В очень общих формулировках систем многотельных систем и системах программного обеспечения используются избыточные координаты, чтобы сделать системы удобными и гибкими.
Есть несколько случаев, когда необходимо учитывать гибкость тел. Например, в тех случаях, когда гибкость играет фундаментальную роль в кинематике, а также в податливых механизмах.
Гибкость можно учитывать по-разному. Существует три основных подхода: