Методы сопряженных балок – это инженерный метод определения наклона и смещения балки. Сопряженная балка определяется как воображаемая балка с теми же размерами (длиной), что и исходная балка, но нагрузка в любой точке сопряженной балки равна изгибающему моменту в этой точке, деленному на EI. .
Метод сопряженной балки был разработан Генрихом Мюллером-Бреслау в 1865 году. По сути, он требует того же объема вычислений, что и теоремы о моменте и площади, для определения наклона или отклонения балки; однако этот метод опирается только на принципы статики, поэтому его применение будет более привычным.
В основе метода лежит подобие уравнения. 1 и уравнение 2 — уравнение 3 и уравнение 4. Чтобы показать это сходство, эти уравнения показаны ниже.
Интегрированные уравнения выглядят следующим образом.
Здесь сдвиг V сравнивается с наклоном θ, момент M сравнивается со смещением v, а внешняя нагрузка w сравнивается с диаграммой M/EI. Ниже приведена диаграмма сдвига, момента и отклонения. Диаграмма M/EI представляет собой диаграмму моментов, разделенную на модуль Юнга и момент инерции балки.
Чтобы использовать это сравнение, мы теперь рассмотрим балку, имеющую ту же длину, что и реальная балка, но называемую здесь «сопряженной балкой». Сопряженная балка «нагружена» диаграммой M/EI, полученной из нагрузки на реальную балку. Из приведенных выше сравнений мы можем сформулировать две теоремы, относящиеся к сопряженной балке:
Теорема 1: Наклон в точке реальной балки численно равен сдвигу в соответствующей точке сопряженной балки.
Теорема 2: Перемещение точки реальной балки численно равно моменту в соответствующей точке сопряженной балки.
При рисовании сопряженной балки важно, чтобы сдвиг и момент, возникающие в опорах сопряженной балки, учитывали соответствующий наклон и смещение реальной балки в ее опорах, что является следствием теорем 1 и 2. Например, как показано ниже. , штыревая или роликовая опора на конце реальной балки обеспечивает нулевое смещение, но ненулевой наклон. Следовательно, по теоремам 1 и 2 сопряженная балка должна опираться на штифт или ролик, так как эта опора имеет нулевой момент, но имеет сдвиговую или концевую реакцию. Когда реальная балка имеет фиксированную опору, наклон и смещение равны нулю. Здесь сопряженная балка имеет свободный конец, так как на этом конце нулевой сдвиг и нулевой момент. Соответствующие действительные и сопряженные носители показаны ниже. Отметим, что, как правило, без учета осевых сил статически определенные реальные балки имеют статически определенные сопряженные балки; а статически неопределимые действительные балки имеют неустойчивые сопряженные балки. Хотя это и происходит, нагрузка M/EI обеспечит необходимое «равновесие», чтобы поддерживать стабильность сопряженного пучка.
Следующая процедура представляет собой метод, который можно использовать для определения смещения и прогиба в точке упругой кривой балки с использованием метода сопряженной балки.
