Механика движения плоских частиц

Кроме того, обратите внимание, что использование единичных векторов, которые не выровнены по декартовым осям xy, не означает, что человек больше не находится в инерциальной системе отсчета. Все это означает, что указанный человек использует единичные векторы, которые изменяются в зависимости от s, для описания пути, но при этом наблюдает за движением из инерциальной системы отсчета.

Используя касательный вектор, угол касательной к кривой, скажем, θ, определяется выражением:
$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=y'(s)\ ;}$$ и $${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=x'(s)\ .}$$
Радиус кривизны вводится совершенно формально (без необходимости геометрической интерпретации) как:
$${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {d\theta }{ds}}\ .}$$
Производную θ можно найти из производной для sin θ:
$${\displaystyle {\frac {d\sin \theta }{ds}}=\cos \theta {\frac {d\theta }{ds}}={\frac {1}{\rho }}\cos \theta ={\frac {1}{\rho }}x'(s)\ .}$$
Сейчас:
$${\displaystyle {\frac {d\sin \theta }{ds}}={\frac {d}{ds}}{\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}={\frac {y»(s)x'(s)^{2}-y'(s)x'(s)x»(s)}{\left(x'(s)^{2}+y'(s)^{2}\right)^{3/2}}}\ ,}$$
в котором знаменатель равен единице согласно уравнению. 1. С помощью этой формулы для производной синуса радиус кривизны становится:
$${\displaystyle {\frac {d\theta }{ds}}={\frac {1}{\rho }}=y»(s)x'(s)-y'(s)x»(s)\ ={\frac {y»(s)}{x'(s)}}=-{\frac {x»(s)}{y'(s)}}\ ,}$$
где эквивалентность форм вытекает из дифференцирования уравнения (1). 1:
$${\displaystyle x'(s)x»(s)+y'(s)y»(s)=0\ .}$$
Задав описание любой позиции на пути в терминах связанного с ним значения для s и найдя свойства пути в терминах этого описания, движение частицы вводится путем указания положение частицы в любой момент времени t как соответствующее значение s (t).

Используя приведенные выше результаты для свойств пути в терминах s, ускорение в инерциальной системе отсчета, описанное через компоненты, нормальные и касательные к пути частицы, можно найти через функция s(t) и ее различные производные по времени (как и раньше, простые числа обозначают дифференцирование по s) с:
$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (s)&={\frac {d}{dt}}\mathbf {v} (s)={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {ds}{dt}}\left(x'(s),\ y'(s)\right)\right]\\&=\left({\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}\right)\mathbf {u} _{t}(s)+\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}\left(x»(s),\ y»(s)\right)\\&=\left({\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}\right)\mathbf {u} _{t}(s)-\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}{\frac {1}{\rho }}\mathbf {u} _{n}(s)\ ,\end{aligned}}}$$
в чем можно убедиться, взяв скалярное произведение с единичными векторами u_t(s) и u_n(s). Этот результат для ускорения такой же, как и для кругового движения, основанного на радиусе ρ. Используя эту систему координат в инерциальной системе отсчета, легко определить силу, нормальную к траектории, как центростремительную силу, а силу, параллельную траектории, как тангенциальную силу.

Далее необходимо изменить рамки наблюдения. Сидя на частице, необходимо принять неинерциальную систему отсчета, в которой частица покоится (нулевая скорость). Этот кадр имеет постоянно меняющееся начало координат, которое в момент времени t является центром кривизны (центром соприкасающегося круга на рисунке 1) пути в момент времени t, и скорость вращения которого равна угловой скорости движения частицы вокруг этого начала координат в момент времени t. В этой неинерциальной системе отсчета также используются единичные векторы, нормальные к траектории и параллельные ей.

Угловая скорость в этом кадре — это угловая скорость частицы вокруг центра кривизны в момент времени t. Центростремительная сила инерциальной системы отсчета интерпретируется в неинерциальной системе отсчета, где тело покоится, как сила, необходимая для преодоления центробежной силы. Аналогично, сила, вызывающая любое ускорение скорости на пути, наблюдаемом в инерциальной системе отсчета, становится силой, необходимой для преодоления силы Эйлера в неинерциальной системе отсчета, где частица находится в состоянии покоя. В системе отсчета сила Кориолиса равна нулю, поскольку частица имеет в этой системе отсчета нулевую скорость. Например, для пилота самолета эти фиктивные силы являются предметом непосредственного опыта. Однако эти фиктивные силы не могут быть связаны с простой системой отсчета, отличной от самой частицы, если только она не движется по особенно простому пути, например по кругу.

Тем не менее, с качественной точки зрения, траекторию самолета можно аппроксимировать дугой окружности в течение ограниченного времени, а в течение ограниченного времени, когда применяется определенный радиус кривизны, центробежные силы и силы Эйлера можно проанализировать на основе кругового движения с таким радиусом (см. статью о повороте самолета).

Далее более подробно обсуждаются системы отсчета, вращающиеся вокруг фиксированной оси.

Описание движения частицы зачастую проще в недекартовых системах координат, например, в полярных координатах. Когда уравнения движения выражаются в терминах любой криволинейной системы координат, появляются дополнительные члены, которые показывают, как изменяются базисные векторы при изменении координат. Эти члены возникают автоматически при преобразовании в полярные (или цилиндрические) координаты и, таким образом, не являются фиктивными силами, а просто добавляются члены при ускорении в полярных координатах.

В чисто математической трактовке, независимо от того, с какой системой координат связана система координат (инерциальной или неинерциальной), в ускорении наблюдаемой частицы при использовании криволинейных координат появляются дополнительные члены. Например, в полярных координатах ускорение определяется выражением (подробности см. ниже):
$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\ ,}$$
который содержит не только двойные производные координат по времени, но и дополнительные члены. В этом примере используются полярные координаты, но в более общем плане добавленные члены зависят от выбранной системы координат (т. е. полярной, эллиптической или любой другой системы).
Иногда эти термины, зависящие от системы координат, также называют «фиктивными силами», вводя второе значение для «фиктивных сил», несмотря на то, что эти термины не обладают свойствами векторного преобразования, ожидаемыми от сил. . Например, см. Шанкар и Хильдебранд. Согласно этой терминологии, фиктивные силы частично определяются самой системой координат, независимо от того, к какой системе координат она привязана, то есть независимо от того, привязана ли система координат к инерциальной или неинерциальной системе отсчета. Напротив, фиктивные силы, определенные через состояние движения наблюдателя, исчезают в инерциальных системах отсчета. Чтобы различать эти две терминологии, фиктивные силы, которые исчезают в инерциальной системе отсчета, силы инерции ньютоновской механики, называются в этой статье фиктивными силами «состояния движения» и теми, которые возникают в результате интерпретации производных по времени. в частности системы координат называются «координатными» фиктивными силами.

Если предположить, что «состояние движения» и «система координат» различны, то из этого следует, что зависимость центробежной силы (как в этой статье) от «состояния движения» и ее независимость от « система координат», которая контрастирует с «координатным» вариантом с прямо противоположными зависимостями, указывает на то, что две разные идеи обозначаются терминологией «фиктивная сила». В настоящей статье подчеркивается одна из этих двух идей («состояние движения»), хотя описывается и другая.

Ниже вводятся полярные координаты для использования (сначала) в инерциальной системе отсчета, а затем (второ) во вращающейся системе отсчета. Указываются два различных использования термина «фиктивная сила». Однако сначала следует небольшое отступление, чтобы объяснить, как возникла «координатная» терминология для обозначения фиктивной силы.

Чтобы мотивировать введение «координированных» сил инерции не только ссылкой на «математическое удобство», ниже следует отступление, чтобы показать, что эти силы соответствуют тому, что некоторые авторы называют «обобщенными» фиктивными силами или «обобщенными силами инерции». Эти силы вводятся через лагранжев подход к механике, основанный на описании системы с помощью обобщенных координат, обычно обозначаемых как {q_k}. Единственное требование к этим координатам состоит в том, что они необходимы и достаточны для однозначной характеристики состояния системы: они не обязательно (хотя и могут быть) координатами частиц в системе. Вместо этого они могут быть, например, углами и удлинениями звеньев в руке робота. Если механическая система состоит из N частиц и наложено m независимых кинематических условий, то систему можно однозначно охарактеризовать соотношением n = 3. N — m независимые обобщенные координаты {q_k}.

В классической механике лагранжиан определяется как кинетическая энергия, ${\displaystyle T}$ системы минус ее потенциальная энергия, <>. В символах $${\displaystyle L=T-U.}$$

В условиях, заданных в лагранжевой механике, если известен лагранжиан системы, то уравнения движения системы можно получить прямой подстановкой выражения для лагранжиана в уравнение Эйлера–Лагранжа — частное семейство уравнений уравнения в частных производных.

Вот некоторые определения:

Целью данной статьи не является описание того, как работает лагранжева механика. Заинтересованный читатель может просмотреть другие статьи, объясняющие этот подход. На данный момент цель состоит в том, чтобы просто показать, что лагранжев подход может привести к «обобщенным фиктивным силам», которые не исчезают в инерциальных системах отсчета. Здесь важно то, что в случае одной частицы лагранжев подход может быть организован так, чтобы точно охватить только что введенные «координатные» фиктивные силы.

Чтобы продолжить, рассмотрим одну частицу и введем обобщенные координаты как {q_k} = (r, θ). Затем Хильдебранд показывает в полярных координатах с q_k = (r, θ) «обобщенные импульсы»:
$${\displaystyle p_{r}=m{\dot {r}}\ ,\ p_{\theta }=mr^{2}{\dot {\theta }}\ ,}$$
что приводит, например, к обобщенной силе:
$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}p_{r}=Q_{r}+mr{\dot {\theta }}^{2}\ ,}$$
с Q_r приложенной радиальной силой. Связь между «обобщенными силами» и силами Ньютона меняется в зависимости от выбора координат. Эта лагранжева формулировка вводит именно упомянутую выше «координатную» форму фиктивных сил, которая допускает существование «фиктивных» (обобщенных) сил в инерциальных системах отсчета, например, термин ${\displaystyle mr{\dot {\theta }}^{2}\ .}$ Внимательное прочтение Хильдебранда показывает, что он не обсуждает роль «инерциальных систем отсчета», а фактически говорит: «[Наличие или отсутствие [сил инерции] зависит не от конкретной рассматриваемой проблемы, а < i>в зависимости от выбранной системы координат.» Под системой координат предположительно подразумевается выбор {q_k}. Позже он говорит: «Если ускорения, связанные с обобщенными координатами, должны представлять главный интерес (как это обычно бывает), то [неускоренные] члены можно удобно перенести вправо… и рассматривать как дополнительные (обобщенные) ) силы инерции. Часто говорят, что такие силы инерции относятся к типу Кориолиса».

Короче говоря, акцент некоторых авторов на координатах и ​​их производных и введение ими (обобщенных) фиктивных сил, которые не исчезают в инерциальных системах отсчета, является результатом использования обобщенных координат в лагранжевой механике. Например, см. Маккуорри Хильдебранд и фон Шверин. Ниже приведен пример такого использования при разработке роботов-манипуляторов:

В приведенных выше уравнениях [Лагранжа-Эйлера] есть три типа членов. Первый предполагает вторую производную обобщенных координат. Второй квадратичен в ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} }$, где коэффициенты могут зависеть от ${\displaystyle \mathbf {q} }$. Они далее подразделяются на два типа. Члены, включающие произведение типа ${\displaystyle {{\dot {q}}_{i}}^{2}}$, называются центробежными силами, а члены, включающие произведение типа ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}}$ для i ≠ j называются силами Кориолиса. Третий тип — это функции только ${\displaystyle \mathbf {q} }$ и называются гравитационными силами.

Для робота-манипулятора уравнения могут быть записаны в форме с использованием символов Кристоффеля Γ_ijk (подробнее обсуждаются ниже):

$${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\ M_{ij}({\boldsymbol {q}}){\ddot {q}}_{j}+\sum _{j,k=1}^{n}\Gamma _{ijk}{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k}+{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}=\Upsilon _{i}\ ;i=1,\dots ,n\ ,}$$
где M — «матрица инерции манипулятора», а V — потенциальная энергия гравитации (например), а ${\displaystyle \Upsilon _{i}}$< /span> — обобщенные силы на суставе i. Таким образом, термины, включающие символы Кристоффеля, определяют термины «обобщенный центробежный» и «обобщенный Кориолис».

Введение обобщенных фиктивных сил зачастую осуществляется без уведомления и без указания слова «обобщенные». Такое использование терминологии может привести к путанице, поскольку обобщенные фиктивные силы, в отличие от стандартных фиктивных сил «состояния движения», не исчезают в инерциальных системах отсчета.

Ниже ускорение частицы выводится, как видно в инерциальной системе отсчета с использованием полярных координат. В инерциальной системе отсчета по определению нет фиктивных сил «состояния движения». После этого представления представлена ​​и подвергнута критике контрастная терминология фиктивных сил «координат» на основе поведения невекторного преобразования этих «сил».

В инерциальной системе отсчета пусть ${\displaystyle \mathbf {r} }$ будет вектором положения движущейся частицы. Его декартовы компоненты (x, y):
$${\displaystyle \mathbf {r} =(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )\ ,}$$
с полярными координатами r и θ в зависимости от времени t.

Единичные векторы определяются в радиальном направлении наружу ${\displaystyle \mathbf {r} }$:
$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {r}}}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}=(\cos \theta ,\ \sin \theta )}$$
и в направлении под прямым углом к ​​${\displaystyle \mathbf {r} }$:
$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}={\frac {\partial ^{2}{\mathbf {r} }}{\partial r\,\partial \theta }}=(-\sin \theta \ ,\cos \theta )\ .}$$

Эти единичные векторы изменяются по направлению со временем:
$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\boldsymbol {r}}}=(-\sin \theta ,\ \cos \theta ){\frac {d\theta }{dt}}={\frac {d\theta }{dt}}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},}$$
и:
$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}=(-\cos \theta ,\ -\sin \theta ){\frac {d\theta }{dt}}=-{\frac {d\theta }{dt}}{\hat {\boldsymbol {r}}}.}$$

Используя эти производные, первая и вторая производные позиции равны:
$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\hat {\boldsymbol {r}}}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$$и$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\boldsymbol {r}}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\ ,}$$
где дополнительные отметки указывают на временную дифференциацию. При такой форме ускорения ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ в инерциальной системе отсчета второй закон Ньютона, выраженный в полярных координатах, имеет вид:
$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}=m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\boldsymbol {r}}}+m(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\ ,}$$
где F — результирующая реальная сила, действующая на частицу. Никаких фиктивных сил не возникает, поскольку все фиктивные силы по определению равны нулю в инерциальной системе отсчета.

Однако с математической точки зрения иногда бывает удобно поставить в правую часть этого уравнения только производные второго порядка; то есть мы запишем приведенное выше уравнение путем перестановки членов как:
$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}+mr{\dot {\theta }}^{2}{\hat {\mathbf {r} }}-m2{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}=m{\tilde {\boldsymbol {a}}}=m{\ddot {r}}{\hat {\boldsymbol {r}}}+mr{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\ ,}$$
где вводится «координатный» вариант «ускорения»:
$${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {a}}}={\ddot {r}}{\hat {\boldsymbol {r}}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\ ,}$$
состоящая только из производных по времени второго порядка координат r и θ. Члены, перенесенные в силовую часть уравнения, теперь рассматриваются как дополнительные «фиктивные силы», и, что сбивает с толку, результирующие силы также называются «центробежной» и «силой Кориолиса».

Эти недавно определенные «силы» отличны от нуля в инерциальной системе отсчета и поэтому, конечно, не совпадают с ранее выявленными фиктивными силами, которые равны нулю в инерциальной системе отсчета и отличны от нуля только в ненулевой системе отсчета. -инерционная рамка. В этой статье эти недавно определенные силы называются «координатной» центробежной силой и «координатной» силой Кориолиса, чтобы отделить их от сил «состояния движения».

На рисунке 2 показано, что «центробежный термин» ${\displaystyle r{\dot {\theta }}^{2}}$ не трансформируется как истинная сила. Предположим, в системе отсчета S частица движется радиально от начала координат с постоянной скоростью. См. рисунок 2. По первому закону Ньютона сила, действующая на частицу, равна нулю. Теперь мы посмотрим на то же самое из кадра S’, который тот же, но смещен в начале координат. В S’ частица все еще движется прямолинейно с постоянной скоростью, поэтому сила снова равна нулю.

Что, если в двух кадрах использовать полярные координаты? В кадре S радиальное движение постоянно и угловое движение отсутствует. Следовательно, ускорение равно:
$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\boldsymbol {r}}}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}=0\ ,}$$
и каждый термин по отдельности равен нулю, поскольку ${\displaystyle {\dot {\theta }}=0,\ {\ddot {\theta }}=0}$ и ${\displaystyle {\ddot {r}}=0\ }$. Принуждения нет, включая ${\displaystyle r{\dot {\theta }}^{2}}$ «силу» в кадре S.
Однако в кадре S’ мы имеем:
$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}’=\left({\ddot {r}}’-r'{\dot {\theta }}’^{2}\right){\hat {\boldsymbol {r}}}’+\left(r'{\ddot {\theta }}’+2{\dot {r}}'{\dot {\theta }}’\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}’.\ }$$
В этом случае азимутальный член равен нулю и представляет собой скорость изменения углового момента. Однако для получения нулевого ускорения в радиальном направлении нам требуется:
$${\displaystyle {\ddot {r}}’=r'{\dot {\theta }}’^{2}\ .}$$
Правая часть не равна нулю, поскольку ни ${\displaystyle r’}$, ни ${\displaystyle {\dot {\theta }}’}$ равен нулю. То есть мы не можем получить нулевую силу (ноль ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}’}$), если сохраним только ${\displaystyle {\ddot {r}}’}$< /span> как ускорение; нам нужны оба термина.

Несмотря на вышеизложенные факты, предположим, что кто-то принял полярные координаты и хочет сказать, что ${\displaystyle r{\dot {\theta }}^{2}}$ — это «центробежная сила», и переосмыслить ${\displaystyle {\ddot {r}}}$ как «ускорение» (не останавливаясь на каком-либо возможном обосновании). Как обстоит дело с этим решением, если учесть, что правильная формулировка физики не зависит от геометрии и координат? См. статью об общей ковариантности. Чтобы попытаться сформировать ковариантное выражение, эту так называемую центробежную «силу» можно представить в векторной нотации как:
$${\displaystyle {\boldsymbol {F_{\dot {\theta }}}}=-{\boldsymbol {\omega \times }}\left({\boldsymbol {\omega \times r}}\right)\ ,}$$
с:
$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {k}}}\ ,}$$
и $${\displaystyle {\boldsymbol {{\hat {k}},}}}$$ единичным вектором, нормальным к плоскости движения. К сожалению, хотя это выражение формально выглядит как вектор, когда наблюдатель меняет начало координат, значение ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ меняется (см. рисунок 2), поэтому наблюдатели в одной и той же системе отсчета, стоящие на разных углах улиц, видят разные «силы», даже если фактические события, свидетелями которых они являются, идентичны.

Как может физическая сила (будь то фиктивная или реальная) быть нулевой в одном кадре S, но ненулевой в другом кадре S’ , идентичном, но на расстоянии нескольких футов? Даже для одного и того же поведения частиц выражение ${\displaystyle r{\dot {\theta }}^{2}}$ различается в каждой системе отсчета, даже для очень тривиальных различий между системами отсчета. Короче говоря, если мы возьмем ${\displaystyle r{\dot {\theta }}^{2}}$ как «центробежную силу», она не имеет универсального значения: она нефизична.

За пределами этой проблемы реальная приложенная сила равна нулю. (При прямолинейном движении с постоянной скоростью реальной приложенной силы нет). Если бы кто-то принял полярные координаты и захотел бы сказать, что ${\displaystyle r{\dot {\theta }}^{2}}$ это «центробежная сила», и переосмыслить ${\displaystyle {\ddot {r}}}$ как «ускорение», странность приводит к тому, что в системе S’ прямолинейное движение с постоянной скоростью требует чистой силы в полярных координатах, но не в декартовых координатах. Более того, эта загадка применима в системе S‘, но не в системе S.

Поведение ${\displaystyle r{\dot {\theta }}^{2}}$ указывает на то, что нужно сказать, что ${\displaystyle r{\dot {\theta }}^{2}}$ равен не центробежная сила, а просто один из двух членов ускорения. Эта точка зрения, согласно которой ускорение состоит из двух членов, не зависит от системы отсчета: в любой инерциальной системе отсчета существует нулевая центробежная сила. Она также не зависит от системы координат, что означает, что можно использовать декартову, полярную или любую другую криволинейную систему, поскольку все они дают ноль.

Помимо приведенных выше физических аргументов, приведенный выше вывод, основанный на применении математических правил дифференцирования, показывает, что радиальное ускорение действительно состоит из двух членов ${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}}$ .

Тем не менее, следующий подраздел показывает, что существует связь между этими центробежными и кориолисовыми терминами и фиктивными силами, которые относятся к конкретной вращающейся системе координат. отсчет (в отличие от инерциальной системы отсчёта).

В случае плоского движения частицы можно показать, что «координатные» члены центробежного ускорения и ускорения Кориолиса, которые, как указано выше, не равны нулю в инерциальной системе отсчета, являются отрицательными членами «состояния движения» центробежных и ускорения Кориолиса. которые появляются в очень специфическом неинерционном вращающемся вместе кадре (см. следующий подраздел). См. рисунок 3. Чтобы определить вращающуюся в одном направлении систему координат, сначала выбирается начало координат, от которого определяется расстояние r(t) до частицы. Устанавливается ось вращения, перпендикулярная плоскости движения частицы и проходящая через это начало координат. Затем в выбранный момент t скорость вращения системы Ω, вращающейся вместе, приводится в соответствие со скоростью вращения частицы вокруг этой оси, dθ/dt. Совместно вращающаяся рамка применяется только на мгновение и должна постоянно перевыбираться по мере движения частицы. Для получения более подробной информации см. Полярные координаты, центробежные силы и условия Кориолиса.

Далее тот же подход используется для нахождения фиктивных сил (неинерциальной) вращающейся системы отсчета. Например, если для использования во вращающейся системе наблюдения принята вращающаяся полярная система координат, обе вращающиеся с одинаковой постоянной скоростью против часовой стрелки Ω, можно найти уравнения движения в этой системе координат следующим образом: радиальная координата во вращающейся системе координат принимается как r, но угол θ’ во вращающейся системе отсчета меняется со временем:
$${\displaystyle \theta ‘=\theta -\Omega t\ .}$$
Следовательно,
$${\displaystyle {\dot {\theta }}’={\dot {\theta }}-\Omega \ .}$$
Подключаем этот результат к ускорению, используя единичные векторы из предыдущего раздела:
$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}&=\left[{\ddot {r}}-r\left({\dot {\theta }}’+\Omega \right)^{2}\right]{\hat {\mathbf {r} }}+\left[r{\ddot {\theta }}’+2{\dot {r}}\left({\dot {\theta }}’+\Omega \right)\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\&=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}’^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}’+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}’){\hat {\boldsymbol {\theta }}}-\left(2r\Omega {\dot {\theta }}’+r\Omega ^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(2{\dot {r}}\Omega \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\ .\end{aligned}}}$$
Два ведущих члена имеют ту же форму, что и в инерциальной системе отсчета, и являются единственными членами, если система не вращается, то есть если Ω=0. Однако в этой вращающейся системе отсчета у нас есть дополнительные члены:

$${\displaystyle -\left(2r\Omega {\dot {\theta }}’+r\Omega ^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(2{\dot {r}}\Omega \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$$
Радиальный член Ω² r — это центробежная сила на единицу массы, возникающая вследствие вращения системы со скоростью Ω, а радиальный член ${\displaystyle 2r\Omega {\dot {\theta }}’}$ — это радиальная составляющая силы Кориолиса на единицу массы, где ${\displaystyle r{\dot {\theta }}’}$ — это тангенциальная составляющая скорости частицы, как видно во вращающейся рамке. Термин ${\displaystyle -\left(2{\dot {r}}\Omega \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ представляет собой так называемую азимутальную составляющую силы Кориолиса на единицу массы. Фактически, эти дополнительные термины можно использовать для измерения Ω и проверки того, вращается ли рамка, как это объяснялось в примере вращения одинаковых сфер. Если движение частицы может быть описано наблюдателем с использованием законов движения Ньютона без этих членов, зависящих от Ω, наблюдатель находится в инерциальной системе отсчета, где Ω = 0.

Эти «дополнительные члены» в ускорении частицы представляют собой фиктивные силы «состояния движения» для этой вращающейся системы отсчета, силы, вносимые вращением системы с угловой скоростью Ω.

Каковы «координатные» фиктивные силы в этой вращающейся системе отсчета? Как и раньше, предположим, что мы решили поместить в правую часть закона Ньютона только производные по времени второго порядка:
$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}+mr{\dot {\theta }}’^{2}{\hat {\mathbf {r} }}-m2{\dot {r}}{\dot {\theta }}'{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+m\left(2r\Omega {\dot {\theta }}’+r\Omega ^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}-m\left(2{\dot {r}}\Omega \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}=m{\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+mr{\ddot {\theta }}’\ {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=m{\tilde {{\boldsymbol {a}}.}}}$$

Если для удобства нужно было рассматривать ${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {a}}}}$ как «ускорение», тогда термины ${\displaystyle (mr{\dot {\theta }}’^{2}{\hat {\mathbf {r} }}-m2{\dot {r}}{\dot {\theta }}'{\hat {\boldsymbol {\theta }}})}$< /span> добавляются к так называемой «фиктивной силе», которая не является фиктивными силами «состояния движения», а на самом деле является компонентами силы, которые сохраняются даже тогда, когда Ω=0, то есть фиктивные источники сохраняются даже в инерциальной системе отсчета. Поскольку добавлены эти дополнительные условия, фиктивная сила «координаты» — это не то же самое, что фиктивная сила «состояния движения». Из-за этих дополнительных членов «координатная» фиктивная сила не равна нулю даже в инерциальной системе отсчета.

Однако в случае вращающейся системы отсчета, которая имеет ту же угловую скорость, что и частица, так что Ω = dθ/dt в какой-то конкретный момент (т. е. полярные координаты устанавливаются в мгновенная, неинерциальная, вращающаяся в одном направлении система координат (рис. 3). В данном случае в этот момент dθ’/dt = 0. В этой одновременно вращающейся неинерциальной системе отсчета в этот момент «координатными» фиктивными силами являются только те, которые обусловлены движением системы отсчета, то есть они такие же, как и фиктивные силы «состояния движения», как обсуждалось. в примечаниях к вращающейся воедино рамке на рисунке 3 в предыдущем разделе.

Цитируем Булло и Льюиса: «Только в исключительных обстоятельствах конфигурация лагранжевой системы может быть описана вектором в векторном пространстве. В естественной математической ситуации пространство конфигурации системы описывается в общих чертах как искривленное пространство или, точнее, как дифференцируемое многообразие».

Вместо декартовых координат, когда уравнения движения выражаются в криволинейной системе координат, в ускорении частицы, выраженном в этой системе координат, появляются символы Кристоффеля, как более подробно описано ниже. Рассмотрим описание движения частицы с точки зрения инерциальной системы отсчета в криволинейных координатах. Предположим, что положение точки P в декартовых координатах равно (x, y, z), а в криволинейных координатах равно (q₁, q₂. q₃). Тогда существуют функции, которые связывают эти описания:
$${\displaystyle x=x(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})\ ;}$$$${\displaystyle \ q_{1}=q_{1}(x,\ y,\ z)\ ,}$$
и так далее. (Количество измерений может быть больше трех.) Важным аспектом таких систем координат является элемент длины дуги, который позволяет определять расстояния. Если криволинейные координаты образуют ортогональную систему координат, элемент длины дуги ds выражается как:
$${\displaystyle ds^{2}=\sum _{k=1}^{d}\left(h_{k}\right)^{2}\left(dq_{k}\right)^{2}\ ,}$$
где величины h_k называются масштабными коэффициентами. Изменение dq_k в q_k вызывает смещение h_k dq_k вдоль координатной линии для q_k. В точке P мы размещаем единичные векторы e_k, каждый из которых касается координатной линии переменной q_{k< /sub>}. Тогда любой вектор можно выразить через эти базисные векторы, например, из инерциальной системы отсчета, вектора положения движущейся частицы r, находящейся в момент времени t в позиция P становится:
$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=\sum _{k=1}^{d}q_{k}\ {\boldsymbol {e_{k}}},\,}$$
где q_k — векторное скалярное произведение r и e_k.
Скорость v частицы в точке P может быть выражена в точке P как:
$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {v}}&=\sum _{k=1}^{d}v_{k}\ {\boldsymbol {e_{k}}}\,&={\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {r}}=\sum _{k=1}^{d}{\dot {q}}_{k}\ {\boldsymbol {e_{k}}}+\sum _{k=1}^{d}q_{k}\ {\dot {\boldsymbol {e_{k}}}},\,\end{aligned}}}$$
где v_k — векторное скалярное произведение v и e_k, и точки над точками обозначают временную дифференциацию.
Производные базисных векторов по времени можно выразить через введенные выше масштабные коэффициенты. например:
$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q_{2}}}{\boldsymbol {e_{1}}}=-{\boldsymbol {e}}_{2}{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial h_{1}}{\partial q_{2}}}-{\boldsymbol {e}}_{3}{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial h_{1}}{\partial q_{3}}}\ ,}$$ или вообще $${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {e_{j}}}}{\partial q_{k}}}=\sum _{n=1}^{d}{\Gamma ^{n}}_{kj}{\boldsymbol {e_{n}}}\ ,}$$
в которых коэффициенты единичных векторов являются символами Кристоффеля для системы координат. Общие обозначения и формулы для символов Кристоффеля:
$${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{ii}={\begin{Bmatrix}\,i\,\\i\,\,i\end{Bmatrix}}={\frac {1}{h_{i}}}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q_{i}}}\!\ ;\ }$$
$${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{ij}=\ {\begin{Bmatrix}\,i\,\\i\,\,j\end{Bmatrix}}={\frac {1}{h_{i}}}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q_{j}}}={\begin{Bmatrix}\,i\,\\j\,\,i\end{Bmatrix}}\!\ ;\ }$$
$${\displaystyle {\Gamma ^{j}}_{ii}={\begin{Bmatrix}\,j\,\\i\,\,i\end{Bmatrix}}=-{\frac {h_{i}}{{h_{j}}^{2}}}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q_{j}}}\ ,}$$
и символ равен нулю, когда все индексы различны. Несмотря на кажущееся обратное, символы Кристоффеля не образуют компоненты тензора. Например, они равны нулю в декартовых координатах, но не в полярных координатах.

Используя такие отношения,
$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\boldsymbol {e_{j}}}}=\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}{\boldsymbol {e_{j}}}{\dot {q}}_{k}\\&=\sum _{k=1}^{d}\sum _{i=1}^{d}{\Gamma ^{k}}_{ij}{\dot {q}}_{i}{\boldsymbol {e_{k}}}\ ,\end{aligned}}}$$
что позволяет оценить все производные по времени. Например, для скорости:
$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {v}}&={\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {r}}=\sum _{k=1}^{d}{\dot {q}}_{k}\ {\boldsymbol {e_{k}}}+\sum _{k=1}^{d}q_{k}\ {\dot {\boldsymbol {e_{k}}}}\\&=\sum _{k=1}^{d}{\dot {q}}_{k}\ {\boldsymbol {e_{k}}}+\sum _{j=1}^{d}q_{j}\ {\dot {\boldsymbol {e_{j}}}},\\&=\sum _{k=1}^{d}{\dot {q}}_{k}\ {\boldsymbol {e_{k}}}+\sum _{k=1}^{d}\sum _{j=1}^{d}\sum _{i=1}^{d}q_{j}\ {\Gamma ^{k}}_{ij}{\boldsymbol {e_{k}}}{\dot {q}}_{i}\\&=\sum _{k=1}^{d}\left({\dot {q}}_{k}\ +\sum _{j=1}^{d}\sum _{i=1}^{d}q_{j}\ {\Gamma ^{k}}_{ij}{\dot {q}}_{i}\right){\boldsymbol {e_{k}}}\ ,\end{aligned}}}$$
с Γ-обозначением символов Кристоффеля, заменяющим обозначение скобок.
Используя тот же подход, ускорение затем
$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}&={\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {v}}=\sum _{k=1}^{d}{\dot {v}}_{k}\ {\boldsymbol {e_{k}}}+\sum _{k=1}^{d}v_{k}\ {\dot {\boldsymbol {e_{k}}}}\\&=\sum _{k=1}^{d}\left({\dot {v}}_{k}\ +\sum _{j=1}^{d}\sum _{i=1}^{d}v_{j}{\Gamma ^{k}}_{ij}{\dot {q}}_{i}\right){\boldsymbol {e_{k}}}\ .\end{aligned}}}$$
Рассматривая соотношение ускорения, первое суммирование содержит производные скорости по времени, которые были бы связаны с ускорением, если бы это были декартовы координаты, а второе суммирование (то, что с символами Кристоффеля) содержит члены, связанные с тем, как изменяются единичные векторы. с течением времени.

Ранее в этой статье было введено различие между двумя терминами: фиктивные силы, исчезающие в инерциальной системе отсчета, называются в этой статье фиктивными силами «состояния движения», а те, которые возникают в результате дифференцирования в определенной системе координат, называются называемые «координатными» фиктивными силами. Используя приведенное выше выражение для ускорения, закон движения Ньютона в инерциальной системе отсчета принимает вид:
$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}=m\sum _{k=1}^{d}\left({\dot {v}}_{k}\ +\sum _{j=1}^{d}\sum _{i=1}^{d}v_{j}{\Gamma ^{k}}_{ij}{\dot {q}}_{i}\right){\boldsymbol {e_{k}}}\ ,}$$
где F — результирующая реальная сила, действующая на частицу. Никакие фиктивные силы «состояния движения» отсутствуют, поскольку система отсчета инерциальна, а фиктивные силы «состояния движения» равны нулю в инерциальной системе отсчета по определению.

«Координатный» подход к приведенному выше закону Ньютона заключается в сохранении производных по времени второго порядка от координат {q_k} в качестве единственных членов в правой части этого уравнения. , мотивированный скорее математическим удобством, чем физикой. С этой целью закон силы можно переписать, приведя вторую сумму к силовой части уравнения как:
$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}-m\sum _{j=1}^{d}\sum _{i=1}^{d}v_{j}{\Gamma ^{k}}_{ij}{\dot {q}}_{i}{\boldsymbol {e_{k}}}=m{\tilde {\boldsymbol {a}}}\ ,}$$
с соглашением, что «ускорение» ${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {a}}}}$ теперь равно:
$${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {a}}}=\sum _{k=1}^{d}{\dot {v}}_{k}{\boldsymbol {e_{k}}}\ .}$$
В приведенном выше выражении суммирование, добавленное к силовой части уравнения, теперь рассматривается так, как если бы присутствовали добавленные «силы». Эти члены суммирования обычно называются фиктивными силами в рамках этого «координатного» подхода, хотя в этой инерциальной системе отсчета все фиктивные силы «состояния движения» тождественно равны нулю. Более того, эти «силы» не преобразуются при преобразованиях координат как векторы. Таким образом, при обозначении членов суммирования как «фиктивных сил» эта терминология используется для вкладов, совершенно отличных от любой реальной силы и от «состояния движения» фиктивных сил. Эту путаницу усугубляет то, что эти «координатные» фиктивные силы разделены на две группы и получили те же названия, что и фиктивные силы «состояния движения», то есть они разделены на « термины «центробежный» и «Кориолис», несмотря на то, что в них включены термины, которые не являются терминами «центробежный» и «кориолис» для «состояния движения». Например, эти «координатные» центробежные члены и члены Кориолиса могут быть ненулевыми даже в инерциальной системе отсчета, где центробежная сила «состояния движения» (предмет этой статьи) и сила Кориолиса всегда равны нулю.

Если система отсчета не является инерциальной, например, во вращающейся системе отсчета, фиктивные силы «состояния движения» включены в приведенное выше выражение фиктивной силы «координат». Кроме того, если «ускорение», выраженное через производные скорости по времени первого порядка, приводит к выражениям, которые не являются просто производными второго порядка координат {q _k} во времени, то эти члены, которые не являются вторым порядком, также переносят в силовую часть уравнения и включают в себя фиктивные силы. С точки зрения лагранжевой формулировки их можно назвать обобщенными фиктивными силами. См., например, Хильдебранда.

Формулировка динамики в терминах символов Кристоффеля и «координатной» версии фиктивных сил часто используется при проектировании роботов в связи с лагранжевой формулировкой уравнений движения.