Материал Кельвина – Фойгта

Материал Кельвина-Фойгта, также называемый материалом Фойгта, является наиболее простой моделью вязкоупругого материала, демонстрирующего типичные резиноподобные свойства. Он является чисто эластичным в длительных временных масштабах (медленная деформация), но проявляет дополнительную устойчивость к быстрой деформации. Модель была разработана независимо британским физиком лордом Кельвином в 1865 году и немецким физиком Вольдемаром Фойгтом в 1890 году.

Определение

Модель Кельвина-Фойгта, также называемая моделью Фойгта, представлена ​​чисто вязким демпфером и чисто упругой пружиной, соединенными параллельно, как показано на рисунке.

Если же мы соединим эти два элемента последовательно, то получим модель материала Максвелла.

Поскольку два компонента модели расположены параллельно, деформации в каждом компоненте идентичны:

${\displaystyle \varepsilon _{\text{Total}}=\varepsilon _{\rm {S}}=\varepsilon _{\rm {D}}.}$

где индекс D указывает на напряжение-деформацию в демпфере, а индекс S указывает на напряжение-деформацию в пружине. Аналогично, общее напряжение будет суммой напряжений в каждом компоненте:

${\displaystyle \sigma _{\text{Total}}=\sigma _{\rm {S}}+\sigma _{\rm {D}}.}$

Из этих уравнений мы получаем, что в материале Кельвина-Фойгта напряжение σ, деформация ε и их скорости изменения во времени t равны регулируется уравнениями вида:

${\displaystyle \sigma (t)=E\varepsilon (t)+\eta {\frac {d\varepsilon (t)}{dt}},}$

или, в точечной нотации:

${\displaystyle \sigma =E\varepsilon +\eta {\dot {\varepsilon }},}$

где E — модуль упругости, а ${\displaystyle \eta }$ — вязкость. Уравнение можно применять как к касательному напряжению, так и к нормальному напряжению материала.

Последствия внезапного стресса

Если мы внезапно приложим некоторое постоянное напряжение ${\displaystyle \sigma _{0}}$ к материалу Кельвина-Фойгта, то деформации будут приближаться к деформация для чистого эластичного материала ${\displaystyle \sigma _{0}/E}$ с разницей, затухающей экспоненциально:

${\displaystyle \varepsilon (t)={\frac {\sigma _{0}}{E}}(1-e^{-t/\tau _{R}}),}$

где t — время, а ${\displaystyle \tau _{R}={\frac {\eta }{E}}}$ — время замедления.

Если бы мы освободили материал в момент времени ${\displaystyle t_{1}}$, то упругий элемент задержал бы материал обратно до тех пор, пока деформация не станет ноль. Замедление подчиняется следующему уравнению:

${\displaystyle \varepsilon (t>t_{1})=\varepsilon (t_{1})e^{-(t-t_{1})/\tau _{R}}.}$

На рисунке показана зависимость безразмерной деформации ${\displaystyle {\frac {E\varepsilon (t)}{\sigma _{0}}}}$
по безразмерному времени ${\displaystyle t/\tau _{R}}$. На рисунке напряжение в материале прикладывается в момент времени ${\displaystyle t=0}$, а снимается в более позднее безразмерное время ${\displaystyle t_{1}^{*}=t_{1}/\tau _{R}}$.

Поскольку все деформации обратимы (хотя и не мгновенно), материал Кельвина-Фойгта является твердым телом.

Модель Фойгта предсказывает ползучесть более реалистично, чем модель Максвелла, потому что в бесконечном временном интервале деформация приближается к константе:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\varepsilon ={\frac {\sigma _{0}}{E}},}$

в то время как модель Максвелла предсказывает линейную зависимость между деформацией и временем, что чаще всего не соответствует действительности. Хотя модель Кельвина-Фойгта эффективна для прогнозирования ползучести, она не очень хороша для описания поведения релаксации после снятия нагрузки напряжения.

Динамический модуль

Комплексный динамический модуль материала Кельвина-Фойгта определяется по формуле:

${\displaystyle E^{\star }(\omega )=E_{0}(1+i\omega \tau ).}$

Таким образом, действительные и мнимые компоненты динамического модуля называются модулем хранения ${\displaystyle E^{\prime }}$ и ${\displaystyle E^{\prime \prime }}$ соответственно:

${\displaystyle E^{\prime }=\Re [E^{\star }(\omega )],}$

${\displaystyle E^{\prime \prime }=\Im [E^{\star }(\omega )]=E_{0}\omega \tau .}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle E^{\prime }}$ является постоянным, а ${\displaystyle E^{\prime \prime }}$ прямо пропорционален частота (где шкала времени <> — константа пропорциональности). Часто эта константа ${\displaystyle \tau }$ умножается на угловую частоту ${\displaystyle \omega }$ называется модулем потерь ${\displaystyle \eta =\omega \tau }$.