Материал Кельвина-Фойгта: основы и история
Материал Кельвина-Фойгта, также известный как модель Фойгта, представляет собой одну из самых простых и в то же время важных моделей вязкоупругого материала. Эта модель описывает поведение материалов, которые сочетают в себе свойства упругости и вязкости, что делает её особенно полезной для изучения резиноподобных материалов. Материал Кельвина-Фойгта демонстрирует упругое поведение в длительных временных масштабах, но при быстрых деформациях проявляет дополнительное сопротивление, что делает его уникальным и полезным для различных приложений.
Модель была разработана независимо двумя учёными: британским физиком лордом Кельвином в 1865 году и немецким физиком Вольдемаром Фойгтом в 1890 году. Их работа заложила основы для понимания поведения материалов, которые одновременно обладают упругостью и вязкостью.
Что такое модель Кельвина-Фойгта?
Модель Кельвина-Фойгта представляет собой комбинацию двух элементов: упругой пружины и вязкого демпфера, соединённых параллельно. Такая конфигурация позволяет моделировать поведение материалов, которые сопротивляются деформации как за счёт упругости, так и за счёт вязкости. Если бы эти элементы были соединены последовательно, мы получили бы модель Максвелла, которая описывает другое поведение материала.
В модели Кельвина-Фойгта деформации в каждом компоненте (пружине и демпфере) одинаковы. Это означает, что общая деформация материала равна деформации как в пружине, так и в демпфере. С другой стороны, общее напряжение в материале складывается из напряжений в каждом из компонентов. Это можно выразить следующими уравнениями:
— Деформация: ε_Total = ε_S = ε_D.
— Напряжение: σ_Total = σ_S + σ_D.
Здесь индексы S и D обозначают пружину и демпфер соответственно.
Основные уравнения модели
Математически поведение материала Кельвина-Фойгта описывается уравнением, которое связывает напряжение, деформацию и скорость изменения деформации во времени:
σ(t) = Eε(t) + η(dε(t)/dt),
где σ(t) — напряжение в момент времени t, ε(t) — деформация, E — модуль упругости, а η — вязкость материала. Это уравнение можно также записать в более компактной форме:
σ = Eε + ηε̇,
где ε̇ обозначает скорость изменения деформации.
Это уравнение показывает, что напряжение в материале зависит не только от текущей деформации, но и от того, как быстро эта деформация изменяется. Это ключевое отличие модели Кельвина-Фойгта от чисто упругих материалов, где напряжение зависит только от деформации.
Поведение материала при внезапном воздействии
Одним из интересных аспектов модели Кельвина-Фойгта является её поведение при внезапном приложении постоянного напряжения. Если к материалу приложить постоянное напряжение σ₀, то деформация будет увеличиваться, постепенно приближаясь к значению σ₀/E, которое соответствует деформации чисто упругого материала. Однако этот процесс происходит не мгновенно, а с задержкой, которая описывается экспоненциальной функцией:
ε(t) = (σ₀/E)(1 — e^(-t/τ_R)),
где τ_R = η/E — время замедления. Это время характеризует, насколько быстро материал «реагирует» на приложенное напряжение.
Если напряжение снимается в момент времени t₁, то материал начинает возвращаться к своему исходному состоянию, и деформация уменьшается по следующему закону:
ε(t > t₁) = ε(t₁)e^(-(t — t₁)/τ_R).
Это означает, что все деформации в материале Кельвина-Фойгта обратимы, хотя и не мгновенно. Это свойство делает материал твёрдым телом, в отличие от жидкостей, где деформации могут быть необратимыми.
Ползучесть и релаксация
Модель Кельвина-Фойгта особенно хорошо описывает явление ползучести — постепенного увеличения деформации под действием постоянного напряжения. В отличие от модели Максвелла, которая предсказывает линейное увеличение деформации со временем, модель Кельвина-Фойгта предсказывает, что деформация будет стремиться к постоянному значению:
lim(t→∞) ε = σ₀/E.
Это делает модель Кельвина-Фойгта более реалистичной для описания поведения многих материалов, такие как резина или полимеры.
Однако модель Кельвина-Фойгта не так хорошо описывает релаксацию напряжения — процесс уменьшения напряжения при постоянной деформации. Это связано с тем, что в модели Кельвина-Фойгта напряжение не может уменьшаться со временем, если деформация остаётся постоянной.
Динамический модуль
Для описания поведения материала при циклических нагрузках используется понятие динамического модуля. Комплексный динамический модуль материала Кельвина-Фойгта определяется как:
E*(ω) = E₀(1 + iωτ),
где ω — угловая частотой, а τ — время замедления. Этот модуль можно разделить на действительную и мнимую части:
— Действительная часть E’ = Re[E*(ω)] называется модулем хранения. Она характеризует упругую составляющую материала.
— Мнимая часть E» = Im[E*(ω)] = E₀ωτ называется модулем потерь. Она характеризует вязкую составляющую материала.
Интересно, что модуль хранения E’ остаётся постоянным, а модуль потерь E» пропорционален частоте. Это означает, что при увеличении частоты колебаний вязкие потери в материале увеличиваются.
Применение модели Кельвина-Фойгта
Модель Кельвина-Фойгта широко используется в различных областях науки и техники. Она применяется для описания поведения полимеров, резины, биологических тканей и других материалов, которые сочетают в себе свойства упругости и вязкости. Например, в медицине эта модель используется для изучения механических свойств мягких тканей, таких как кожа или хрящи.
В промышленности модель Кельвина-Фойгта помогает инженерам проектировать материалы и конструкции, которые должны выдерживать как статические, так и динамические нагрузки. Например, при проектировании автомобильных шин важно учитывать, как шина будет вести себя при быстрых изменениях нагрузки, что можно описать с помощью модели Кельвина-Фойгта.
