Машина Этвуда

В соответствии с соглашением о знаках предположим, что a является положительным, когда вниз для ${\displaystyle m_{1}}$ и вверх для << MATH1>>. Вес ${\displaystyle m_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}}$ просто < > и ${\displaystyle W_{2}=m_{2}g}$ соответственно.

Силы, действующие на m₁: $${\displaystyle m_{1}g-T=m_{1}a}$$
Силы, действующие на m₂: $${\displaystyle T-m_{2}g=m_{2}a}$$
и сложение двух предыдущих уравнений дает $${\displaystyle m_{1}g-m_{2}g=m_{1}a+m_{2}a,}$$
и заключительную формулу для ускорения $${\displaystyle a=g{\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$$

Машина Этвуда иногда используется для иллюстрации лагранжевого метода вывода уравнений движения.

Может быть полезно знать уравнение натяжения струны. Чтобы оценить натяжение, подставьте уравнение ускорения в любое из двух уравнений силы.

$${\displaystyle a=g{m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}$$

Например, замена в ${\displaystyle m_{1}a=m_{1}g-T}$ приводит к
$${\displaystyle T={2gm_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}={2g \over 1/m_{1}+1/m_{2}}=m_{h}\,g}$$где ${\displaystyle m_{h}={\frac {2m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$ — среднее гармоническое значение двух масс. Числовое значение ${\displaystyle m_{h}}$ ближе к меньшему из двух масс.

Для очень небольших различий в массе между m₁ и m₂< /span>, инерцией вращения I шкива радиусом r нельзя пренебрегать. Угловое ускорение шкива определяется условием прилипания:
$${\displaystyle \alpha ={\frac {a}{r}},}$$
где ${\displaystyle \alpha }$ — угловое ускорение. Тогда чистый крутящий момент составит:
$${\displaystyle \tau _{\mathrm {net} }=\left(T_{1}-T_{2}\right)r-\tau _{\mathrm {friction} }=I\alpha }$$

Объединение со вторым законом Ньютона для висящих масс и решение для T₁, T₂ и a, мы получаем:

Ускорение:
$${\displaystyle a={{g(m_{1}-m_{2})-{\tau _{\mathrm {friction} } \over r}} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$$

Натяжение в ближайшем сегменте струны м₁:
$${\displaystyle T_{1}={{m_{1}g\left(2m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}+{\frac {\tau _{\mathrm {friction} }}{rg}}\right)} \over {m_{1}+m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}}}}$$

Натяжение в ближайшем сегменте струны м₂:
$${\displaystyle T_{2}={{m_{2}g\left(2m_{1}+{\frac {I}{r^{2}}}+{\frac {\tau _{\mathrm {friction} }}{rg}}\right)} \over {m_{1}+m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}}}}$$

Если трение подшипника пренебрежимо мало (но не инерция шкива и натяжение струны на ободе шкива), эти уравнения упрощаются до следующих результатов:

Ускорение: $${\displaystyle a={{g\left(m_{1}-m_{2}\right)} \over {m_{1}+m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}}}}$$

Натяжение в ближайшем сегменте струны м₁:
$${\displaystyle T_{1}={{m_{1}g\left(2m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}\right)} \over {m_{1}+m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}}}}$$

Натяжение в ближайшем сегменте струны м₂:
$${\displaystyle T_{2}={{m_{2}g\left(2m_{1}+{\frac {I}{r^{2}}}\right)} \over {m_{1}+m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}}}}$$

На оригинальных иллюстрациях Этвуда показано, что ось главного шкива опирается на ободья еще четырех колес, чтобы минимизировать силы трения от подшипников. Многие исторические реализации машины следуют этой конструкции.

Лифт с противовесом приближается к идеальной машине Этвуда и тем самым освобождает приводной двигатель от нагрузки по удержанию кабины лифта — ему приходится преодолевать лишь разницу веса и инерцию двух масс. Тот же принцип используется для фуникулера с двумя соединенными вагонами на наклонных путях и для лифтов на Эйфелевой башне, которые уравновешивают друг друга. Еще одним примером являются горнолыжные подъемники, где гондолы перемещаются по замкнутой (непрерывной) системе блоков вверх и вниз по горе. Лыжный подъемник аналогичен подъемнику с противовесом, но с ограничивающей силой, создаваемой тросом в вертикальном измерении, что обеспечивает работу как в горизонтальном, так и в вертикальном измерениях. Лодочные подъемники — это еще один тип лифтовой системы с противовесом, напоминающий машину Этвуда.