Кривая таутохроны

таутохронная кривая или изохронная кривая (от древнегреческого ταὐτό (тауто-) ‘тот же’, ἴσος (isos-) ‘равный’ и χρόνος (chronos) ‘время’) — это кривая, для которой время доведенная предметом, скользящим без трения в условиях равномерной силы тяжести, до самой нижней точки, не зависит от его начальной точки на кривой. Кривая представляет собой циклоиду, а время равно π, умноженному на квадратный корень из радиуса (округа, образующего циклоиду) по ускорению свободного падения. Кривая таутохроны связана с кривой брахистохроны, которая также является циклоидой.

Проблема таутохроны, попытка идентифицировать эту кривую, была решена Христианом Гюйгенсом в 1659 году. В своей книге Horologium Oscillatorium, первоначально опубликованной в 1673 году, он геометрически доказал, что кривая представляет собой циклоиду.

На циклоиде, ось которой восстановлена ​​на перпендикуляре, а вершина расположена внизу, времена падения, за которые тело достигает самой нижней точки в вершине после вылета из любой точки циклоиды, равны между собой…

Циклоида задается точкой на окружности радиуса ${\displaystyle r}$, описывающей кривую, когда круг катится по < ось , как:
$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\theta -\sin \theta )\\y&=r(1-\cos \theta ),\end{aligned}}}$$

Гюйгенс также доказал, что время спуска равно времени, за которое тело падает вертикально на то же расстояние, что и диаметр круга, образующего циклоиду, умноженный на ${\displaystyle \pi /2}$< /пролет>. Говоря современным языком, это означает, что время спуска равно ${\textstyle \pi {\sqrt {r/g}}}$, где ${\displaystyle r}$ — это радиус круга, образующего циклоиду, а ${\displaystyle g}$ — это гравитация Земли, или, точнее, гравитационное ускорение Земли.

Это решение позже было использовано для решения задачи о кривой брахистохроны. Иоганн Бернулли решил эту задачу в статье (Acta Eruditorum, 1697).

Проблема таутохрона была изучена Гюйгенсом более внимательно, когда он понял, что маятник, который движется по круговой траектории, не является изохронным, и, следовательно, его маятниковые часы будут показывать разное время в зависимости от того, как далеко качается маятник. Определив правильный путь, Христиан Гюйгенс попытался создать маятниковые часы, в которых использовалась веревка для подвешивания боба и бордюра в верхней части веревки, чтобы изменить путь к кривой таутохроны. Эти попытки оказались бесполезными по ряду причин. Во-первых, изгиб струны вызывает трение, изменяющее время. Во-вторых, существовали гораздо более серьезные источники ошибок во времени, которые подавляли любые теоретические улучшения, которые помогают путешествиям по таутохронной кривой. Наконец, «круговая ошибка» маятника уменьшается по мере уменьшения длины качания, поэтому лучший спуск часов может значительно уменьшить этот источник неточности.

Позже математики Жозеф Луи Лагранж и Леонард Эйлер предложили аналитическое решение проблемы.

Если положение частицы параметризовано длиной дуги s(t) от самой низкой точки, кинетическая энергия пропорциональна ${\displaystyle {\dot {s}}^{2}.}$ Потенциальная энергия пропорциональна высоте y(s). Один из способов, которым кривая может быть изохроной, — это если лагранжиан является лагранжианом простого гармонического осциллятора: высота кривой должна быть пропорциональна квадрату длины дуги.

где константа пропорциональности была установлена ​​равной 1 путем изменения единиц длины.

Дифференциальная форма этого отношения:

который исключает s и оставляет дифференциальное уравнение для dx и dy. Чтобы найти решение, проинтегрируйте x с помощью y:

где ${\displaystyle u={\sqrt {y}}}$. Этот интеграл представляет собой площадь под кругом, который естественным образом можно разрезать на треугольник и круглый клин:

Чтобы увидеть, что это странная параметризованная циклоида, измените переменные, чтобы разделить трансцендентную и алгебраическую части, определив угол ${\displaystyle \theta =\arcsin 2u}$. Это дает

это стандартная параметризация, за исключением масштаба x, y и θ.

Простейшее решение проблемы таутохроны — отметить прямую связь между углом наклона и силой тяжести, ощущаемой частицей на склоне. Частица на вертикальном наклоне 90° испытывает полное гравитационное ускорение ${\displaystyle g}$, а частица на горизонтальной плоскости испытывает нулевое гравитационное ускорение. При промежуточных углах ускорение частицы из-за «виртуальной гравитации» составляет ${\displaystyle g\sin \theta }$. Обратите внимание, что ${\displaystyle \theta }$ измеряется между касательной к кривой и горизонталью, причем углы выше горизонтали считаются положительными углами. Таким образом, ${\displaystyle \theta }$ варьируется от ${\displaystyle -\pi /2}$ до < >.

Положение массы, измеренное вдоль кривой таутохроны, ${\displaystyle s(t)}$, должно подчиняться следующему дифференциальному уравнению:

который наряду с начальными условиями ${\displaystyle s(0)=s_{0}}$ и ${\displaystyle s'(0)=0}$ имеет решение:

Можно легко проверить, что это решение решает дифференциальное уравнение и что частица достигнет ${\displaystyle s=0}$ за время < из любой начальной позиции ${\displaystyle s_{0}}$. Теперь проблема состоит в том, чтобы построить кривую, которая заставит массу подчиняться вышеуказанному движению. Второй закон Ньютона показывает, что сила тяжести и ускорение массы связаны соотношением:

Явное представление расстояния, ${\displaystyle s}$, вызывает затруднения, но мы можем дифференцировать его, чтобы получить более удобную форму:

Это уравнение связывает изменение угла кривой с изменением расстояния вдоль кривой. Теперь мы используем тригонометрию, чтобы связать угол ${\displaystyle \theta }$ с дифференциальными длинами ${\displaystyle dx}$ , ${\displaystyle dy}$ и ${\displaystyle ds}$:

Замена ${\displaystyle ds}$ на ${\displaystyle dx}$ в приведенном выше уравнении позволяет нам найти ${\displaystyle x}$ в терминах ${\displaystyle \theta }$:

Аналогично, мы также можем выразить ${\displaystyle ds}$ через ${\displaystyle dy}$ и решить ${\displaystyle y}$ в терминах ${\displaystyle \theta }$:

Подставив ${\displaystyle \phi =2\theta }$ и ${\textstyle r={\frac {g}{4\omega ^{2}}}\,}$, мы видим, что эти параметрические уравнения для ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — это точки на окружности радиуса ${\displaystyle r}$ катится вдоль горизонтальной линии (циклоиды) с центром окружности в координатах ${\displaystyle (C_{x}+r\phi ,C_{y})}$:

Обратите внимание, что ${\displaystyle \phi }$ находится в диапазоне ${\displaystyle -\pi \leq \phi \leq \pi }$. Обычно ${\displaystyle C_{x}=0}$ и ${\displaystyle C_{y}=r}$ так, чтобы самая нижняя точка кривая совпадает с началом координат. Поэтому:

Решая задачу ${\displaystyle \omega }$ и помня, что ${\displaystyle T={\frac {\pi }{2\omega }}}$ — это время, необходимое для спуска, будучи четвертью полного цикла, мы находим время спуска через радиус ${\displaystyle r}$:

(На основе Проктора, стр. 135–139)

Нильс Хенрик Абель атаковал обобщенную версию проблемы таутохроны (механическая проблема Абеля), а именно, имея функцию ${\displaystyle T(y)}$, которая определяет общее время спуска для заданной начальной высоты, найти уравнение кривой, которая дает этот результат. Проблема таутохроны является частным случаем механической проблемы Абеля, когда ${\displaystyle T(y)}$ является константой.

Решение Абеля начинается с принципа сохранения энергии: поскольку частица не имеет трения и, следовательно, не теряет энергии на тепло, ее кинетическая энергия в любой точке точно равна разнице гравитационной потенциальной энергии от ее начальной точки. Кинетическая энергия равна ${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$, и поскольку частица вынуждена двигаться по кривой, ее скорость просто равна < >, где ${\displaystyle \ell }$ — расстояние, измеренное вдоль кривой. Аналогично, гравитационная потенциальная энергия увеличивается при падении с начальной высоты ${\displaystyle y_{0}}$ на высоту ${\displaystyle y}$ равен ${\displaystyle mg(y_{0}-y)}$, таким образом:

В последнем уравнении мы предполагали записать оставшееся расстояние вдоль кривой как функцию высоты (${\displaystyle \ell (y))}$, осознав, что оставшееся расстояние должно уменьшаться со временем. увеличивается (следовательно, знак минус) и использовал правило цепочки в форме ${\textstyle d\ell ={\frac {d\ell }{dy}}dy}$.

Теперь мы интегрируем от ${\displaystyle y=y_{0}}$ до ${\displaystyle y=0}$, чтобы получить общее время, необходимое для частица, которая упадет:

Это называется интегральным уравнением Абеля и позволяет нам вычислить общее время, необходимое частице для падения по заданной кривой (для которой ${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$< /span> было бы легко вычислить). Но механическая задача Абеля требует обратного: учитывая ${\displaystyle T(y_{0})\,}$, мы хотим найти ${\displaystyle f(y)={d\ell }/{dy}}$, из которого прямым образом следует уравнение кривой. Чтобы продолжить, отметим, что интеграл справа представляет собой свертку ${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$ с ${\displaystyle {1}/{\sqrt {y}}}$ и, таким образом, возьмем преобразование Лапласа обеих сторон относительно переменной ${\displaystyle y}$:

где ${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}{\left[{d\ell }/{dy}\right]}}$. Поскольку ${\textstyle {\mathcal {L}}{\left[{1}/{\sqrt {y}}\right]}={\sqrt {{\pi }/{s}}}}$, у нас теперь есть выражение для преобразования Лапласа ${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$ с точки зрения преобразования Лапласа ${\displaystyle T(y_{0})}$:

Это все, что мы можем сделать, не указывая ${\displaystyle T(y_{0})}$. Как только ${\displaystyle T(y_{0})}$ станет известен, мы можем вычислить его преобразование Лапласа, вычислить преобразование Лапласа ${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$ , а затем выполните обратное преобразование (или попытайтесь это сделать), чтобы найти ${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$.

Для задачи таутохрона ${\displaystyle T(y_{0})=T_{0}\,}$ является константой. Поскольку преобразование Лапласа 1 равно ${\displaystyle {1}/{s}}$, т. е. ${\textstyle {\mathcal {L}}[T(y_{0})]={T_{0}}/{s}}$, мы найдите функцию формы ${\textstyle f(y)={d\ell }/{dy}}$:

Снова воспользовавшись приведенным выше преобразованием Лапласа, мы инвертируем преобразование и заключаем:

Можно показать, что циклоида подчиняется этому уравнению. Требуется еще один шаг, чтобы выполнить интеграл по ${\displaystyle y}$, чтобы получить выражение формы пути.

(Симмонс, раздел 54).