Кривая брахистохроны

В физике и математике — брахистохронная кривая (от древнегреческого βράχιστος χρόνος (brákhistos khrónos) ‘самое короткое время’), или кривая наискорейшего спуска. , лежит на плоскости между точкой A и нижней точкой B, где B не находится непосредственно под A< /i>, по которому бусинка без трения скользит под действием однородного гравитационного поля до заданной конечной точки за кратчайшее время. Задача была поставлена Иоганном Бернулли в 1696 году.

Кривая брахистохроны имеет ту же форму, что и кривая таутохроны; оба циклоиды. Однако часть циклоиды, используемая для каждого из двух, различается. Точнее, брахистохрона может использовать вплоть до полного вращения циклоиды (в пределе, когда A и B находятся на одном уровне), но всегда начинается с точки возврата. Напротив, задача таутохрона может использоваться только до первой половины оборота и всегда заканчивается на горизонтали. Проблему можно решить, используя инструменты вариационного исчисления и оптимального управления.

Кривая не зависит как от массы испытуемого тела, так и от местной силы тяжести. Выбирается только параметр, чтобы кривая соответствовала начальной точке A и конечной точке B. Если телу задана начальная скорость A или учтено трение, то кривая, минимизирующая время, отличается от кривой таутохроны.

Ранее, в 1638 году, Галилео Галилей пытался решить похожую задачу для пути скорейшего спуска из точки на стену в своих Двух новых науках. Он приходит к выводу, что дуга окружности быстрее любого числа ее хорд,

Из предыдущего можно сделать вывод, что самый быстрый путь из всех [lationem omnium velocissimam] из одной точки в другую — это не кратчайший путь, а именно прямая линия, а дуга окружности.

None

Следовательно, чем ближе вписанный многоугольник приближается к окружности, тем меньше времени требуется для спуска из точки А в точку С. То, что было доказано для квадранта, справедливо и для меньших дуг; рассуждения те же самые.

Сразу после теоремы 6 из Двух новых наук Галилей предупреждает о возможных заблуждениях и необходимости «высшей науки». В этом диалоге Галилей рассматривает свою работу. Галилей изучил циклоиду и дал ей свое имя, но связь между ней и его проблемой пришлось ждать до достижений математики.

Гипотеза Галилея состоит в том, что «Кратчайшим временем [для подвижного тела] будет время его падения по дуге ADB [четверти круга] и подобные свойства следует понимать как сохраняющиеся для всех меньших дуг, взятых вверх от наименьшей дуги». предел Б».

На рис.1 из «Диалога о двух главных мировых системах» Галилей утверждает, что тело, скользящее по дуге в четверть круга, от А до В, достигнет В за меньшее время, чем если бы оно выбрало любой другой путь из А к Б. Аналогично на рис. 2 из любой точки D на дуге АВ он утверждает, что время по меньшей дуге DB будет меньше, чем для любого другого пути от D до B. Фактически, кратчайший путь от А до В. Брахистохрона от A до B или от D до B, представляет собой циклоидальную дугу, которая показана на рис. 3 для пути от A до B и на рис. 4 для пути от D до B, наложенную на соответствующую дугу окружности. .

Иоганн Бернулли поставил перед читателями Acta Eruditorum проблему брахистохроны в июне 1696 года. Он сказал:

Я, Иоганн Бернулли, обращаюсь к самым блестящим математикам мира. Нет ничего более привлекательного для умных людей, чем честная и сложная проблема, возможное решение которой принесет славу и останется вечным памятником. Следуя примеру Паскаля, Ферма и т. д., я надеюсь заслужить благодарность всего научного сообщества, поставив перед лучшими математиками нашего времени задачу, которая проверит их методы и силу их интеллекта. Если кто-нибудь сообщит мне решение предложенной проблемы, я публично объявлю его достойным похвалы.

Бернулли написал постановку задачи так:

Если взять две точки A и B на вертикальной плоскости, то какую кривую описывает точка, на которую действует только сила тяжести, начиная с точки A и достигая точки B за кратчайшее время.

Иоганн и его брат Якоб Бернулли получили одно и то же решение, но вывод Иоганна был неверным, и он попытался выдать решение Якоба за свое собственное. Иоганн опубликовал решение в журнале в мае следующего года и отметил, что решение представляет собой ту же кривую, что и таутохронная кривая Гюйгенса. Выведя дифференциальное уравнение для кривой методом, приведенным ниже, он показал, что оно действительно дает циклоиду. Однако его доказательство испорчено использованием одной константы вместо трех констант: v_m, 2g и D< /i> ниже.

Бернулли отвел шесть месяцев на решение, но за это время ни одного не было получено. По требованию Лейбница срок был публично продлен на полтора года. В 16:00. 29 января 1697 года, вернувшись домой с Королевского монетного двора, Исаак Ньютон нашел вызов в письме Иоганна Бернулли. Ньютон не спал всю ночь, чтобы решить эту задачу, и анонимно отправил решение следующим сообщением. Прочитав решение, Бернулли сразу узнал его автора, воскликнув, что «узнает льва по следу когтя». Эта история дает некоторое представление о силе Ньютона, поскольку Иоганну Бернулли потребовалось две недели, чтобы решить ее. Ньютон также писал: «Я не люблю, когда иностранцы напоминали [приставали] и дразнили меня по поводу математических вещей…», и Ньютон уже решил задачу Ньютона о минимальном сопротивлении, которая считается первой в своем роде в вариационном исчислении.

В конце концов, пять математиков ответили своими решениями: Ньютон, Якоб Бернулли, Готфрид Лейбниц, Эренфрид Вальтер фон Чирнхаус и Гийом де Л’Опиталь. Четыре решения (за исключением решения Лопиталя) были опубликованы в том же номере журнала, что и решение Иоганна Бернулли. В своей статье Якоб Бернулли дал доказательство условия наименьшего времени, аналогичное приведенному ниже, прежде чем показать, что его решение является циклоидой. По словам ньютоновского исследователя Тома Уайтсайда, в попытке превзойти своего брата Якоб Бернулли создал более сложную версию проблемы брахистохроны. Решая ее, он разработал новые методы, которые Леонард Эйлер усовершенствовал до того, что последний назвал (в 1766 году) вариационным исчислением. Жозеф-Луи Лагранж проделал дальнейшую работу, которая привела к созданию современного исчисления бесконечно малых.

В письме в Лопиталь (21.12.1696) Бернулли сообщал, что, рассматривая задачу о кривой наискорейшего спуска, всего через два дня он заметил любопытное сходство или связь с другой, не менее замечательной задачей, приводящей к «косвенный метод» решения. Вскоре после этого он открыл «прямой метод».

В письме Анри Баснажу, хранящемуся в публичной библиотеке Базельского университета от 30 марта 1697 года, Иоганн Бернулли заявил, что он нашел два метода (всегда называемых «прямым» и «косвенным»), чтобы показать, что брахистохрона была «обыкновенная циклоида», также называемая «рулеткой». Следуя совету Лейбница, он включил только косвенный метод в Acta Eruditorum Lipsidae от мая 1697 года. Он писал, что это произошло отчасти потому, что он считал, что этого достаточно, чтобы убедить любого, кто сомневался в выводе, отчасти потому, что это было достаточно также решил две известные проблемы оптики, которые «покойный г-н Гюйгенс» поднял в своем трактате о свете. В том же письме он критиковал Ньютона за сокрытие своего метода.

В дополнение к своему косвенному методу он также опубликовал пять других полученных им ответов на задачу.

Прямой метод Иоганна Бернулли исторически важен как доказательство того, что брахистохрона является циклоидой. Метод заключается в определении кривизны кривой в каждой точке. Все остальные доказательства, включая доказательство Ньютона (которое тогда не было открыто), основаны на нахождении градиента в каждой точке.

В 1718 году Бернулли объяснил, как он решил проблему брахистохроны своим прямым методом.

Он объяснил, что не опубликовал ее в 1697 году по причинам, которые больше не применялись в 1718 году. Эта статья в значительной степени игнорировалась до 1904 года, когда глубину метода впервые оценил Константин Каратеодори, который заявил, что она показывает, что циклоида — это единственная возможная кривая скорейшего спуска. По его словам, другие решения просто подразумевали, что время спуска стационарно для циклоиды, но не обязательно минимально возможное.

Тело рассматривается как скользящее по любой малой дуге окружности Ce между радиусами KC и Ke с фиксированным центром K. Первый этап доказательства заключается в нахождении конкретной дуги окружности Mm, которую тело проходит за минимальное время.

Прямая KNC пересекает AL в точке N, а линия Kne пересекает ее в точке n, и они образуют небольшой угол CKe в точке K. Пусть NK = a и определим переменную точку C на расширенном KN. Из всех возможных дуг Се требуется найти дугу Мм, для проскальзывания которой между двумя радиусами КМ и Км требуется минимальное время. Чтобы найти г-на Бернулли, рассуждает следующим образом.

Пусть MN = x. Он определяет m так, что MD = mx, и n так, что Mm = nx + na, и отмечает, что x — единственная переменная, и что m конечно, а n бесконечно мало. Малое время для перемещения по дуге Mm равно ${\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}={\frac {n(x+a)}{(mx)^{\frac {1}{2}}}}$ , что должно быть минимальным (‘un plus petit’). Он не объясняет, что, поскольку Mm так мало, скорость на ней можно принять за скорость в точке M, которая равна квадратному корню из MD, вертикального расстояния M ниже горизонтальной линии AL.

Отсюда следует, что при дифференцировании это должно дать

Это условие определяет кривую, по которой тело скользит за минимально возможное время. Для каждой точки М на кривой радиус кривизны МК разрезается на две равные части своей осью AL. Это свойство, о котором, по словам Бернулли, было известно уже давно, уникально для циклоиды.

Наконец, он рассматривает более общий случай, когда скорость является произвольной функцией X(x), поэтому время, которое необходимо минимизировать, равно ${\frac {(x+a)}{X}}$ .
Тогда условие минимума становится
$X={\frac {(x+a)dX}{dx}}$
который он пишет как : $X=(x+a)\Delta x$
и что дает MN (=x) как функцию NK (= a). Отсюда уравнение кривой можно было бы получить из интегрального исчисления, хотя он этого не демонстрирует.

Затем он приступает к тому, что он назвал своим синтетическим решением, которое было классическим геометрическим доказательством того, что существует только одна кривая, по которой тело может соскользнуть за минимальное время, и эта кривая — циклоида.

Целью синтетической демонстрации, как это делали древние, является убеждение г-на де ла Гира. У него мало времени на наш новый анализ, и он называет его ложным (он утверждает, что нашел три способа доказать, что кривая является кубической параболой) – Письмо Йохана Бернулли Пьеру Вариньону от 27 июля 1697 года.

Предположим, что AMmB — часть циклоиды, соединяющая точки A и B, по которой тело соскальзывает за минимальное время. Пусть ICcJ является частью другой кривой, соединяющей A с B, которая может быть ближе к AL, чем к AMmB. Если дуга Mm образует угол MKm в ее центре кривизны K, пусть дуга на IJ, образующая тот же угол, будет Cc. Дуга окружности, проходящая через C с центром K, — это Ce. Точка D на AL находится вертикально над M. Соедините K с D, а точка H будет там, где CG пересекает KD, при необходимости расширив ее.

Пусть $\tau$ и t — время, за которое тело упадет вдоль Mm и Ce соответственно.

Продлите центр тяжести до точки F, где $CF={\frac {CH^{2}}{MD}}$ и, поскольку ${\frac {Mm}{Ce}}={\frac {MD}{CH}}$ , следует что

Поскольку MN = NK, для циклоиды:

Если Ce ближе к K, чем Mm, то

В любом случае,

Если дуга Cc, опирающаяся на бесконечно малый угол MKm на IJ, не является круговой, то она должна быть больше Ce, поскольку Cec в пределе становится прямоугольным треугольником, когда угол MKm стремится к нулю.

Обратите внимание: Бернулли доказывает, что CF > CG, используя аналогичный, но другой аргумент.

Отсюда он заключает, что тело проходит циклоиду AMB за меньшее время, чем любую другую кривую ACB.

Согласно принципу Ферма, фактический путь между двумя точками, пройденный лучом света, — это тот, который занимает наименьшее время. В 1697 году Иоганн Бернулли использовал этот принцип для вывода кривой брахистохроны, рассмотрев траекторию луча света в среде, где скорость света увеличивается вслед за постоянным вертикальным ускорением (ускорением силы тяжести g).

В силу закона сохранения энергии мгновенная скорость тела v после падения на высоту y в однородном гравитационном поле определяется выражением:

Скорость движения тела по произвольной кривой не зависит от горизонтального перемещения.

Бернулли заметил, что закон преломления дает константу движения луча света в среде переменной плотности:

где v_m — константа, а $\theta$ представляет угол траектории относительно вертикали.

Приведенные выше уравнения приводят к двум выводам:

Предположим для простоты, что частица (или луч) с координатами (x,y) вылетает из точки (0,0) и достигает максимальной скорости после падения на вертикальное расстояние D:

Перестановка членов в законе преломления и возведения в квадрат дает:

которое можно решить для dx с помощью dy:

Замена выражений для v и v_m выше дает:

которое представляет собой дифференциальное уравнение перевернутой циклоиды, порожденной кругом диаметром D=2r, параметрическое уравнение которого имеет вид:

где φ — действительный параметр, соответствующий углу, на который повернулась катящаяся окружность. Для заданного φ центр круга лежит в точке (x, y) = (rφ, r ).

В задаче о брахистохроне движение тела задается временной эволюцией параметра:

где t — время с момента выхода тела из точки (0,0).

Брат Иоганна Якоб показал, как можно использовать 2-й дифференциал для получения этого условия за наименьшее время. Модернизированная версия доказательства состоит в следующем. Если мы пренебрежимо отклонимся от пути наименьшего времени, то для дифференциального треугольника, образованного смещением по пути, а также горизонтальными и вертикальными перемещениями,

При дифференцировании с фиксированным dy мы получаем:

И, наконец, перестановка терминов дает:

где последняя часть — это смещение при данном изменении во времени для 2-го дифференциала. Теперь рассмотрим изменения вдоль двух соседних путей на рисунке ниже, для которых горизонтальное расстояние между путями вдоль центральной линии составляет d²x (одинаково как для верхнего, так и для нижние дифференциальные треугольники). На старом и новом пути различаются следующие части:

Для пути наименьшего времени эти времена равны, поэтому для их разности получаем,

И условие наименьшего времени таково:

что согласуется с предположением Иоганна, основанным на законе преломления.

В июне 1696 года Иоганн Бернулли использовал страницы Acta Eruditorum Lipsidae, чтобы поставить перед международным математическим сообществом задачу: найти форму кривой, соединяющей две фиксированные точки, чтобы масса скользила вниз. вдоль него, под действием только силы тяжести, за минимальное время. Первоначально решение должно было быть представлено в течение шести месяцев. По предложению Лейбница Бернулли продлил задачу до Пасхи 1697 года с помощью печатного текста под названием «Программа», опубликованного в Гронингене, в Нидерландах.

Программа датирована 1 января 1697 года по григорианскому календарю. Это было 22 декабря 1696 года по юлианскому календарю, используемому в Великобритании.
По словам племянницы Ньютона, Кэтрин Кондуитт, Ньютон узнал о задаче в 16:00 29 января и решил ее к 4 часам утра следующего дня. Его решение, переданное Королевскому обществу, датировано 30 января. Это решение, позже анонимно опубликованное в Philosophical Transactions, верно, но не указывает на метод, с помощью которого Ньютон пришел к своему выводу. Бернулли в письме Анри Баснажу в марте 1697 года указывал, что, хотя ее автор «из-за чрезмерной скромности» не назвал своего имени, тем не менее, даже по скудным деталям, представленным в ней, можно было узнать работу Ньютона, «как лев когтем» (на латыни ex ungue Leonem).

Д. Т. Уайтсайд отмечает, что во французском письме перед буквой ex ungue Leonem стоит французское слово comme. Часто цитируемая версия tanquam ex ungue Leonem связана с вышедшей в 1855 году книгой Дэвида Брюстера о жизни и творчестве Ньютона. Намерением Бернулли, как утверждает Уайтсайд, было просто показать, что он может сказать, что анонимное решение принадлежит Ньютону, точно так же, как можно было сказать, что животное является львом, учитывая его когти; это не означало, что Бернулли считал Ньютона львом среди математиков, как это с тех пор интерпретировали.

Джон Уоллис, которому в то время было 80 лет, узнал об этой проблеме в сентябре 1696 года от младшего брата Иоганна Бернулли Иеронима и потратил три месяца на попытки найти решение, прежде чем передать его в декабре Дэвиду Грегори, который также не смог ее решить. . После того как Ньютон представил свое решение, Грегори расспросил его о деталях и сделал заметки из их разговора. Их можно найти в библиотеке Эдинбургского университета, рукопись A $78^{1}$ , датированная 7 марта 1697 года. Либо Грегори не понял аргумент Ньютона, либо объяснение Ньютона было ошибочным. очень кратко. Однако можно с большой степенью уверенности построить доказательство Ньютона на основе заметок Грегори по аналогии с его методом определения тела минимального сопротивления (Начала, Книга 2, Предложение 34, Схолия 2). Подробное описание решения этой последней проблемы включено в черновик письма 1694 года, также Дэвиду Грегори. Помимо проблемы минимальной кривой времени, существовала и вторая проблема, которую Ньютон решил в то же время. Оба решения появились анонимно в «Философских трудах Королевского общества» за январь 1697 года.

На рис. 1 представлена диаграмма Грегори (только на ней отсутствует дополнительная линия IF и добавлена Z — начальная точка). Кривая ZVA — циклоида, CHV — ее образующая окружность. Поскольку оказывается, что тело движется вверх от е к Е, то следует предположить, что небольшое тело высвобождается из Z и скользит по кривой к А без трения под действием силы тяжести.

Рассмотрим малую дугу eE, по которой поднимается тело. Предположим, что вместо дуги eE она проходит по прямой eL до точки L, смещенной по горизонтали от E на небольшое расстояние o. Обратите внимание, что eL не является касательной в точке e, и что o отрицательно, когда L находится между B и E. Проведите линию, проходящую через E параллельно CH, разрезая eL в точке n. По свойству циклоиды En является нормалью к касательной в точке E, и аналогичным образом касательная в точке E параллельна VH.

Поскольку смещение EL мало, оно мало отличается по направлению от касательной в точке E, так что угол EnL близок к прямому. В пределе, когда дуга eE приближается к нулю, eL становится параллельной VH, при условии, что o мало по сравнению с eE, что делает треугольники EnL и CHV подобными.

Также en приближается к длине аккорда eE и увеличению длины, $eL-eE=nL={\frac {o.CH}{CV}}$ , игнорируя условия в $o^{2}$ < /span> и выше, что представляет собой ошибку из-за приближения, согласно которому eL и VH параллельны.

Скорость вдоль eE или eL можно принять равной скорости в точке E, пропорциональной ${\sqrt {CB}}$ , что соответствует CH, поскольку << MATH1>>

Кажется, это все, что содержится в записке Грегори.

Пусть t — дополнительное время для достижения L,

$t\propto {\frac {nL}{\sqrt {CB}}}={\frac {o.CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}={\frac {o}{\sqrt {CV}}}$

Поэтому увеличение времени прохождения небольшой дуги, смещенной в одной конечной точке, зависит только от смещения в конечной точке и не зависит от положения дуги. Однако по методу Ньютона это всего лишь условие, необходимое для прохождения кривой за минимально возможное время. Поэтому он заключает, что минимальная кривая должна быть циклоидой.

Он рассуждает следующим образом.

Предположим теперь, что рис. 1 представляет собой еще не определенную минимальную кривую с вертикальной осью CV и удаленным кругом CHV, а на рис. 2 показана часть кривой между бесконечно малой дугой eE и еще одной бесконечно малой дугой Ff на конечном расстоянии вдоль изгиб. Дополнительное время t для прохождения eL (а не eE) равно nL, делённому на скорость в точке E (пропорционально ${\sqrt {CB}}$ ), игнорируя члены в < span> $o^{2}$ и выше:

$t\propto {\frac {o.DE}{eE.{\sqrt {CB}}}}$ ,

В точке L частица продолжает двигаться по пути LM, параллельному исходному EF, до некоторой произвольной точки M. Поскольку она имеет ту же скорость в L, что и в точке E, время прохождения LM такое же, как и в исходной точке. кривая EF. В точке M он возвращается на исходный путь в точке f. По тем же соображениям сокращение времени T для достижения f из M, а не из F, равно

$T\propto {\frac {o.FG}{Ff.{\sqrt {CI}}}}$

Разница (t – T) представляет собой дополнительное время, необходимое на пути eLMf по сравнению с исходным eEFf:

$(t-T)\propto \left({\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}-{\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}\right).o$ плюс термины в $o^{2}$ и выше (1)

Поскольку eEFf — минимальная кривая, (t – T) должно быть больше нуля, независимо от того, является ли o положительным или отрицательным. Отсюда следует, что коэффициент при o в (1) должен быть равен нулю:

${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}$ (2) в пределе, когда eE и fF приближаются к нулю. Обратите внимание, поскольку eEFf — это минимальная кривая, следует предположить, что коэффициент $o^{2}$ больше нуля.

Очевидно, должно быть два равных и противоположных смещения, иначе тело не вернется в конечную точку А кривой.

Если e фиксировано и если f считается переменной точкой выше кривой, то для всех таких точек f, ${\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}$ является постоянной (равной ${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}$ ). Если оставить f фиксированным и сделать переменную e, становится ясно, что ${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}$ также является константой.

Но поскольку точки e и f произвольны, уравнение (2) может быть истинным только в том случае, если ${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\text{constant}}$ , везде, и это условие характеризует кривую, которая является искал. Это тот же метод, который он использует, чтобы найти форму Тела Наименьшего Сопротивления.

Для циклоиды, ${\frac {DE}{eE}}={\frac {BH}{VH}}={\frac {CH}{CV}}$ , так что ${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}$ , который, как было показано выше, является постоянным, а брахистохрона является циклоидой.

Ньютон не дает никаких указаний на то, как он обнаружил, что циклоида удовлетворяет этому последнему соотношению. Возможно, это было методом проб и ошибок, или он мог сразу понять, что это означает, что кривая была циклоидой.