Критическая нагрузка Эйлера

Критическая нагрузка Эйлера или Эйлерова нагрузка на продольный изгиб — это сжимающая нагрузка, при которой тонкая колонна внезапно изгибается или выгибается. Оно задается формулой:

$${\displaystyle P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}$$

где

Эту формулу вывел в 1744 году швейцарский математик Леонард Эйлер. Колонна останется прямой при нагрузках ниже критической. Критическая нагрузка — это наибольшая нагрузка, которая не вызывает бокового отклонения (выпучивания). При нагрузках, превышающих критическую нагрузку, колонна будет отклоняться вбок. Критическая нагрузка приводит колонну в состояние неустойчивого равновесия. Нагрузка, превышающая критическую, приводит к разрушению колонны из-за коробления. По мере увеличения нагрузки сверх критической нагрузки боковые отклонения увеличиваются до тех пор, пока она не может выйти из строя в других режимах, таких как текучесть материала. Нагрузка колонн сверх критической в ​​данной статье не рассматривается.

Примерно в 1900 году Дж. Б. Джонсон показал, что при низких коэффициентах гибкости следует использовать альтернативную формулу.

При выводе формулы Эйлера сделаны следующие предположения:

Для тонких колонн критическое напряжение потери устойчивости обычно ниже предела текучести. Напротив, коренастая колонна может иметь критическое напряжение потери устойчивости, превышающее предел текучести, то есть она поддается до потери устойчивости.

Следующая модель применяется к столбцам, которые просто поддерживаются на каждом конце (${\displaystyle K=1}$).

Во-первых, обратим внимание на то, что в шарнирных концах нет реакций, а значит, у нас также нет поперечной силы ни в одном сечении колонны. Причину отсутствия реакций можно получить из симметрии (поэтому реакции должны идти в одном направлении) и из моментного равновесия (поэтому реакции должны идти в противоположных направлениях).

Используя диаграмму свободного тела в правой части рисунка 3 и суммируя моменты относительно точки x:
$${\displaystyle \Sigma M=0\Rightarrow M(x)+Pw=0}$$
где w — боковое отклонение.

Согласно теории балки Эйлера – Бернулли, прогиб балки связан с ее изгибающим моментом соотношением:
$${\displaystyle M=-EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}.}$$

так:
$${\displaystyle EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+Pw=0}$$

Пусть ${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}}$, тогда:
$${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+\lambda ^{2}w=0}$$

Получаем классическое однородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.

Общие решения этого уравнения: ${\displaystyle w(x)=A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x)}$, где ${\displaystyle A}$ и < span>${\displaystyle B}$ — это константы, которые определяются граничными условиями, а именно:

Если ${\displaystyle B=0}$, изгибающий момент отсутствует, и мы получаем тривиальное решение ${\displaystyle w(x)=0}$.

Однако из другого решения ${\displaystyle \sin(\lambda \ell )=0}$ мы получаем ${\displaystyle \lambda _{n}\ell =n\pi }$ для ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$

Вместе с ${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}}$, как определено ранее, различными критическими нагрузками являются:
$${\displaystyle P_{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}EI}{\ell ^{2}}}\;,\quad {\text{ for }}n=0,1,2,\ldots }$$
и в зависимости от значения ${\displaystyle n}$ создаются различные режимы потери устойчивости, как показано на рисунке 4. Нагрузка и режим для n=0 — это режим без потери устойчивости.

Теоретически возможен любой режим потери устойчивости, но в случае медленно приложенной нагрузки, скорее всего, будет создана только первая модальная форма.

Таким образом, Критическая нагрузка Эйлера для колонны со штыревым концом составляет:
$${\displaystyle P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{\ell ^{2}}}}$$
и полученная форма изогнутой колонны в первом режиме:
$${\displaystyle w(x)=B\sin \left({\pi \over \ell }x\right).}$$

Дифференциальное уравнение оси балки:
$${\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+{\frac {P}{EI}}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\frac {q}{EI}}}$$

Для колонны только с осевой нагрузкой боковая нагрузка ${\displaystyle q(x)}$ исчезает и заменяется ${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}}$, получаем:
$${\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+\lambda ^{2}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}=0}$$

Это однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка, и его общее решение имеет вид
$${\displaystyle w(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)+Cx+D}$$

Четыре константы ${\displaystyle A,B,C,D}$ определяются граничными условиями (конечными ограничениями) на ${\displaystyle w(x)}$, на каждом конце. Есть три случая:

Для каждой комбинации этих граничных условий получается задача на собственные значения. Решая их, мы получаем значения критической нагрузки Эйлера для каждого из случаев, представленных на рисунке 2.