Критерий текучести фон Мизеса

В механике сплошной среды критерий максимальной энергии искажения (также критерий текучести фон Мизеса) утверждает, что текучесть пластичного материала начинается, когда второй инвариант девиаторного напряжения ${\displaystyle J_{2}}$ достигает критического значения. Это часть теории пластичности, которая в основном применяется к пластичным материалам, таким как некоторые металлы. До текучести можно предположить, что реакция материала имеет линейно-упругое, нелинейно-упругое или вязкоупругое поведение.

В материаловедении и машиностроении критерий текучести по Мизесу также формулируется в терминах напряжения по Мизесу или эквивалентного растягивающего напряжения, ${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$. Это скалярное значение напряжения, которое можно вычислить из тензора напряжений Коши. В этом случае говорят, что материал начинает течь, когда напряжение по Мизесу достигает значения, известного как предел текучести, ${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$. Напряжение по Мизесу используется для прогнозирования текучести материалов при сложной нагрузке по результатам испытаний на одноосное растяжение. Напряжение по Мизесу удовлетворяет свойству, при котором два состояния напряжения с одинаковой энергией деформации имеют одинаковое напряжение по Мизесу.

Поскольку критерий текучести фон Мизеса не зависит от первого инварианта напряжения, ${\displaystyle I_{1}}$, он применим для анализа пластической деформации для пластичных материалов, таких как металлы, поскольку начало текучести для этих материалов не зависит от гидростатической составляющей тензора напряжений.

Хотя считалось, что он был сформулирован Джеймсом Клерком Максвеллом в 1865 году, Максвелл только описал общие условия в письме Уильяму Томсону (лорду Кельвину). Ричард Эдлер фон Мизес строго сформулировал его в 1913 году. Титус Максимилиан Хубер (1904) в статье, написанной на польском языке, в некоторой степени предвосхитил этот критерий, правильно полагаясь на энергию деформации искажения, а не на полную энергию деформации, как его предшественники. Генрих Генки сформулировал тот же критерий, что и фон Мизес, независимо в 1924 году. По вышеуказанным причинам этот критерий также называют «теорией Максвелла–Хубера–Хенки–фон Мизеса».

Математическая формулировка

Математически критерий текучести фон Мизеса выражается как:

${\displaystyle J_{2}=k^{2}\,\!}$

Здесь ${\displaystyle k}$ — предел текучести материала при чистом сдвиге. Как показано далее в этой статье, в начале текучести величина предела текучести при сдвиге в чистом сдвиге в √3 раза ниже предела текучести при растяжении в случае простого растяжения. Таким образом, мы имеем:

${\displaystyle k={\frac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}}$

где ${\displaystyle \sigma _{y}}$ — предел текучести материала при растяжении. Если мы установим напряжение по Мизесу равным пределу текучести и объединим приведенные выше уравнения, то критерий текучести по Мизесу запишется как:

${\displaystyle \sigma _{v}=\sigma _{y}={\sqrt {3J_{2}}}}$

или

${\displaystyle \sigma _{v}^{2}=3J_{2}=3k^{2}}$

Заменяя ${\displaystyle J_{2}}$ компонентами тензора напряжений Коши, получаем

${\displaystyle \sigma _{\text{v}}^{2}={\frac {1}{2}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6\left(\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}+\sigma _{12}^{2}\right)\right]={\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}}$,

где ${\displaystyle s}$ называется девиаторным напряжением. Это уравнение определяет поверхность текучести как круглый цилиндр (см. рисунок), чья кривая текучести или пересечение с девиаторной плоскостью представляет собой круг с радиусом ${\displaystyle {\sqrt {2}}k}$ или ${\textstyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}\sigma _{y}}$. Это означает, что условие текучести не зависит от гидростатических напряжений.

Редуцированное уравнение фон Мизеса для различных напряженных состояний

Одноосное (1D) напряжение

В случае одноосного напряжения или простого растяжения ${\displaystyle \sigma _{1}\neq 0,\sigma _{3}=\sigma _{2}=0}$, критерий фон Мизеса просто сводится к

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{\text{y}}\,\!}$,

что означает, что материал начинает течь, когда ${\displaystyle \sigma _{1}}$ достигает предела текучести материал ${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$, в соответствии с определением предела текучести при растяжении (или сжатии).

Многоосное (2D или 3D) напряжение

Эквивалентное растягивающее напряжение или эквивалентное напряжение по Мизесу, ${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$ используется для прогнозирования текучесть материалов в условиях многоосной нагрузки с использованием результатов простых одноосных испытаний на растяжение. Таким образом, мы определяем

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\text{v}}&={\sqrt {3J_{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+\left(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\right)}{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}}}\end{aligned}}\,\!}$

где ${\displaystyle s_{ij}}$ — компоненты тензора девиатора напряжений ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}}$:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}\right)}{3}}\mathbf {I} \,\!}$.

В этом случае текучесть происходит, когда эквивалентное напряжение, ${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$, достигает предела текучести материал в простом растяжении, ${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$. Например, напряженное состояние стальной балки при сжатии отличается от напряженного состояния стальной оси при кручении, даже если оба образца сделаны из одного материала. С учетом тензора напряжений, который полностью описывает напряженное состояние, это различие проявляется в шести степенях свободы, поскольку тензор напряжений имеет шесть независимых компонент. Поэтому трудно сказать, какой из двух образцов находится ближе к пределу текучести или даже достиг его. Однако с помощью критерия текучести по Мизесу, который зависит исключительно от значения скалярного напряжения по Мизесу, т. е. одной степени свободы, это сравнение становится простым: большее значение по Мизесу означает, что материал находится ближе к пределу текучести.

В случае чистого напряжения сдвига, ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}\neq 0}$, в то время как все остальные ${\displaystyle \sigma _{ij}=0}$, критерий фон Мизеса становится следующим:

${\displaystyle \sigma _{12}=k={\frac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}\,\!}$.

Это означает, что в начале текучести величина касательного напряжения при чистом сдвиге равна ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ раз ниже предела текучести в случае простого растяжения. Критерий текучести фон Мизеса для чистого напряжения сдвига, выраженный в главных напряжениях, равен

${\displaystyle (\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{2}=2\sigma _{y}^{2}\,\!}$

В случае главного плоского напряжения ${\displaystyle \sigma _{3}=0}$ и ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{23}=\sigma _{31}=0}$, фон Критерий Мизеса принимает вид:

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}-\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}^{2}=3k^{2}=\sigma _{y}^{2}\,\!}$

Это уравнение представляет собой эллипс на плоскости ${\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{2}}$.

Краткое содержание

Физическая интерпретация критерия текучести фон Мизеса

Хенки (1924) предложил физическую интерпретацию критерия фон Мизеса, предполагая, что текучесть начинается, когда упругая энергия деформации достигает критического значения. По этой причине критерий фон Мизеса также известен как критерий максимальной энергии деформации. Это происходит из соотношения между ${\displaystyle J_{2}}$ и упругой энергией деформации искажения ${\displaystyle W_{\text{D}}}$:

${\displaystyle W_{\text{D}}={\frac {J_{2}}{2G}}\,\!}$ with the elastic shear modulus ${\displaystyle G={\frac {E}{2(1+\nu )}}\,\!}$.

В 1937 году Арпад Л. Надаи предположил, что текучесть начинается, когда октаэдрическое напряжение сдвига достигает критического значения, т. е. октаэдрического напряжения сдвига материала в точке текучести при простом растяжении. В этом случае критерий текучести фон Мизеса также известен как критерий максимального октаэдрического напряжения сдвига ввиду прямой пропорциональности, которая существует между ${\displaystyle J_{2}}$ и октаэдрическое напряжение сдвига, ${\displaystyle \tau _{\text{oct}}}$, что по определению

${\displaystyle \tau _{\text{oct}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}J_{2}}}\,\!}$

таким образом, мы имеем

${\displaystyle \tau _{\text{oct}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}\sigma _{\text{y}}\,\!}$

Strain energy density consists of two components — volumetric or dialational and distortional. Volumetric component is responsible for change in volume without any change in shape. Distortional component is responsible for shear deformation or change in shape.

Практическое инженерное использование критерия текучести фон Мизеса

Как показано в приведенных выше уравнениях, использование критерия фон Мизеса в качестве критерия текучести применимо только тогда, когда следующие свойства материала являются изотропными, а отношение предела текучести при сдвиге к пределу текучести при растяжении имеет следующее значение:

${\displaystyle {\frac {F_{sy}}{F_{ty}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 0.577\!}$

Поскольку ни один материал не будет иметь это соотношение точно, на практике необходимо использовать инженерное суждение, чтобы решить, какая теория разрушения подходит для данного материала. В качестве альтернативы, для использования теории Треска, то же самое соотношение определяется как 1/2.

Запас прочности по доходности записывается как

${\displaystyle MS_{\text{yld}}={\frac {F_{y}}{\sigma _{\text{v}}}}-1}$