Критерий текучести Бигони – Пикколоаза

Критерий текучести Бигони-Пикколороа — это модель текучести, основанная на феноменологическом подходе, способная описывать механическое поведение широкого класса чувствительных к давлению гранулированных материалов, таких как почва, бетон, пористые металлы и керамика. .

Общие понятия

Идея критерия Бигони-Пикколороаза состоит в том, чтобы получить функцию, способную переходить между поверхностями текучести, типичными для разных классов материалов, только путем изменения параметров функции. Причина такого внедрения заключается в том, что материалы, на которые ориентирована модель, претерпевают последовательные изменения во время производства и условий работы. Типичным примером является упрочнение силового образца путем уплотнения и спекания, в ходе которого материал меняется от зернистого к плотному.

Критерий текучести Бигони-Пикколороа можно представить в пространстве напряжений Хейга-Вестергаарда как выпуклую гладкую поверхность, и фактически сам критерий основан на математическом определении поверхности в вышеупомянутом пространстве как правильной интерполяции экспериментальных точек.

Математическая формулировка

Поверхность текучести Бигони-Пикколороа рассматривается как прямая интерполяция экспериментальных данных. Этот критерий представляет собой гладкую и выпуклую поверхность, замкнутую как при гидростатическом растяжении, так и при сжатии, имеющую каплевидную форму, особенно подходящую для описания фрикционных и сыпучих материалов. Этот критерий был обобщен и на случай поверхностей с углами.

Принципы дизайна

Поскольку вся идея модели заключается в адаптации функции к экспериментальным данным, авторы определили определенную группу характеристик как желательные, даже если и не существенные, среди них:

Параметрическая функция

Критерий текучести Бигони – Пикколороаса представляет собой семипараметрическую поверхность, определяемую как:

${\displaystyle f(p,q,\theta )=F(p)+{\frac {q}{g(\theta )}}=0,}$

где p, q и < > являются инвариантами, зависящими от тензор напряжений, в то время как ${\displaystyle F(p)}$ — это «меридиан» «функция:

${\displaystyle F(p)=\left\{{\begin{array}{ll}-Mp_{c}{\sqrt {(\phi -\phi ^{m})[2(1-\alpha )\phi +\alpha ]}},&\phi \in [0,1],\\+\infty ,&\phi \notin [0,1],\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \phi ={\frac {p+c}{p_{c}+c}},}$

описание чувствительности к давлению и <> «девиаторная» функция:

${\displaystyle g(\theta )={\frac {1}{\cos[\beta {\frac {\pi }{6}}-{\frac {1}{3}}\cos ^{-1}(\gamma \cos 3\theta )]}},}$

описывающее зависимость текучести от Лоде.

Математические определения параметров ${\displaystyle p,q}$ и ${\displaystyle \theta }$ являются:

${\displaystyle p=-{\frac {tr~\sigma }{3}},\quad q={\sqrt {3{\textit {J}}_{2}}},\quad \theta ={\frac {1}{3}}cos^{-1}\left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}{\frac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}\right)}$

С:

${\displaystyle J_{2}={\frac {1}{2}}{\textbf {S}}\cdot {\textbf {S}},\quad {\textbf {S}}=\sigma -{\frac {tr\ \sigma }{3}}{\textbf {I}},\quad J_{3}={\frac {1}{3}}tr\ {\textbf {S}}^{3}}$

Где ${\displaystyle {\textbf {S}}}$ — девиаторное напряжение , ${\displaystyle {\textbf {I}}}$ — тензор идентичности , ${\displaystyle \sigma }$ — тензор напряжений, а точка указывает скалярное произведение.

Лучшее понимание этих важных параметров можно получить, используя их геометрическое представление в пространстве напряжений Хейга – Вестергора. Учитывая расположение главных напряжений и девиаторную плоскость ${\displaystyle \pi }$ , ортогональная трисектору первого квадранта и проходящая через начало системы координат, терчка ${\displaystyle p,q}$ и ${\displaystyle \theta }$ однозначно представляет точку в пространстве, действующую как цилиндрическую систему координат с трисектором в качестве оси:

Использование p и q вместо правильных цилиндрических координат ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle \xi ={\frac {1}{\sqrt {3}}}tr(\sigma )=-{\sqrt {3}}~p,\quad \rho ={\sqrt {2~J_{2}}}={\sqrt {\frac {2}{3}}}q}$

оправдывается более простой физической интерпретацией: p — гидростатическое давление на материальную точку, q — эквивалентное напряжение по Мизесу.

Описанная функция текучести соответствует поверхности текучести:

${\displaystyle q=-f(p)g(\theta ),\quad p\in [-c,p_{c}],\quad \theta \in [0,\pi /3]}$

что явно определяет связь между двумя функциями ${\displaystyle f(p)}$ и ${\displaystyle g(\theta )}$ и форму. меридианный и девиаторный сечения соответственно.

Семь неотрицательных материальных параметров:

${\displaystyle \underbrace {M>0,~p_{c}>0,~c\geq 0,~0<\alpha <2,~m>1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {F(p)}},~~~\underbrace {0\leq \beta \leq 2,~0\leq \gamma <1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {g(\theta )}},}$

определяют форму меридианного и девиаторного участков. В частности, некоторые параметры легко соотносятся с механическими свойствами: ${\displaystyle M}$< /span> управляет чувствительностью к давлению, < > и ${\displaystyle p_{c}}$ — предел текучести в изотропных условиях растяжения и сжатия. Остальные параметры определяют форму поверхности при пересечении меридиональной и девиаторной плоскостями: ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle m}$ определяет сечение меридиана, стиль ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \gamma }$ определяет девиаторное сечение.

Связанные критерии доходности

Поскольку поверхность текучести Бигони-Пикколороа была разработана для обеспечения согласованных изменений формы поверхности в пространстве напряжений Хайга-Вестергаарда, ее можно использовать в качестве обобщенной формулировки для нескольких критериев, таких как хорошо известные критерии фон Мизеса, Треска, Мора-Кулона.

Поверхность текучести Бигони-Пикколроаза является мощным инструментом для характеристики гранулированных материалов и вызывает большой интерес в области определения конститутивных моделей для керамики, горных пород и грунтов, что является задачей основополагающего значения для лучшего проектирования изделий с использованием этих материалов.