Координаты Лоде: что это и зачем они нужны?
Координаты Лоде \((z, r, \theta)\), также известные как координаты Хейга–Вестергаарда \((\xi, \rho, \theta)\), представляют собой набор тензорных инвариантов, которые описывают пространство действительных, симметричных, трехмерных тензоров второго порядка. Эти координаты изоморфны пространству главных напряжений и широко используются в механике материалов для анализа напряженного состояния.
Что такое координаты Лоде?
Координаты Лоде — это правосторонняя ортогональная система координат, названная в честь немецкого ученого Вальтера Лоде. В своей работе 1926 года Лоде исследовал влияние среднего главного напряжения на пластичность металлов. Эти координаты позволяют упростить анализ напряженного состояния, особенно в задачах пластичности и разрушения материалов.
Основные компоненты координат Лоде
Координаты Лоде состоят из трех компонент:
1. Осевая координата (z): Определяется как проекция напряженного состояния на гидростатическую ось. \[ z = \frac{\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma})}{\sqrt{3}} = \frac{I_1}{\sqrt{3}} \] где \(I_1\) — первый инвариант тензора напряжений.
2. Радиальная координата (r): Характеризует величину девиатора напряжений. \[ r = \sqrt{2J_2} \] Здесь \(J_2\) — второй инвариант девиатора напряжений.
3. Угловая координата (\(\theta\)): Угол Лоде, который определяет тип нагрузки. Он связан с третьим инвариантом девиатора напряжений \(J_3\) и может быть выражен через тригонометрические функции: \[ \sin(3\theta_s) = -\sin(3\bar{\theta}_s) = \cos(3\theta_c) = \frac{J_3}{2} \left(\frac{3}{J_2}\right)^{3/2} \]
Применение координат Лоде
Координаты Лоде особенно полезны при анализе пластичности материалов. Они помогают определить, как материал будет деформироваться под действием различных типов нагрузок. Например, угол Лоде позволяет классифицировать тип напряженного состояния (растяжение, сжатие, сдвиг) и предсказать, как материал будет вести себя в критических условиях.
