Конечные подгруппы SU(2)

В прикладной математике конечные подгруппы SU(2) представляют собой группы, состоящие из вращений и связанных с ними преобразований, применяемые, в частности, в области физической химии. Группа симметрии физического тела обычно содержит подгруппу (обычно конечную) группы 3D-вращений. Может случиться, что группа {±1} с двумя элементами также действует на тело; это обычно имеет место в магнетизме для обмена северным и южным полюсами или в квантовой механике для изменения знака спина. В этом случае группа симметрии тела может быть центральным расширением группы пространственных симметрий группой с двумя элементами. Ганс Бете ввел термин «двойная группа» (Doppelgruppe) для такой группы, в которой два различных элемента индуцируют пространственную идентичность, а поворот на 2π может соответствовать элементу двойной группы, который не является идентичностью.

Классификация конечных двойных групп и их таблиц характеров, таким образом, физически осмысленна и является основной частью теории двойных групп. Конечные двойные группы включают бинарные полиэдральные группы.

В физической химии двойные группы используются при обработке магнетохимии комплексов ионов металлов, имеющих один неспаренный электрон в d-оболочке или f-оболочке. Примеры, когда обычно используется двойная группа, включают 6-координационные комплексы меди(II), титана(III) и церия(III). В этих двойных группах вращение на 360° рассматривается как операция симметрии, отдельная от операции тождества; двойная группа образуется путем объединения этих двух операций симметрии с точечной группой, такой как диэдральная группа или полная октаэдрическая группа.

Определение и теория

Пусть Γ — конечная подгруппа SO(3), трехмерной группы вращений. Существует естественный гомоморфизм f группы SU(2) на SO(3), имеющий ядро ​​{±I}. Это двойное покрытие можно реализовать с помощью присоединенного действия SU(2) на алгебре Ли бесследовых 2-на-2 кососоединенных матриц или с помощью действия сопряжением единичных кватернионов. Двойная группа Γ‘ определяется как f−1 (Γ). По построению {±I} является центральной подгруппой Γ‘, а частное изоморфно Γ. Таким образом, Γ‘ является центральным расширением группы Γ с помощью {±1}, циклической группы порядка 2. Обычные представления Γ‘ являются просто отображениями Γ в общую линейную группу, которые являются гомоморфизмами с точностью до знака; эквивалентно, они являются проективными представлениями Γ с факторной системой или множителем Шура в {±1}. Два проективных представления Γ замкнуты относительно операции тензорного произведения, с их соответствующими факторными системами в {±1}, умножаемыми. Центральные расширения Γ на {±1} также имеют натуральное произведение.

Конечные подгруппы SU(2) и SO(3) были определены в 1876 году Феликсом Клейном в статье в Mathematische Annalen, позднее включенной в его знаменитые «Лекции об икосаэдре» 1884 года: для SU(2) подгруппы соответствуют циклическим группам, бинарным диэдральным группам, бинарным тетраэдральным группам, бинарным октаэдральным группам и бинарным икосаэдрическим группам; а для SO(3) они соответствуют циклическим группам, диэдральным группам, тетраэдральной группе, октаэдрической группе и икосаэдрической группе. Соответствие можно найти в многочисленных учебниках, и оно восходит к классификации платоновых тел. Из классификаций бинарных подгрупп Клейна следует, что если Γ — конечная подгруппа SO(3), то с точностью до эквивалентности существует ровно два центральных расширения Γ на {±1}: одно получается поднятием двойного покрытия Γ‘ = f−1 (Γ); и тривиальное расширение Γ x {±1}.

Таблицы характеров конечных подгрупп SU(2) и SO(3) были определены и табулированы Ф. Г. Фробениусом в 1898 году, с альтернативными выводами И. Шура и Х. Э. Йордана в 1907 году независимо. Также были определены правила ветвления и формулы тензорного произведения. Для каждой бинарной подгруппы, т. е. конечной подгруппы SU(2), неприводимые представления Γ помечены расширенными диаграммами Дынкина типов A, D и E; правила тензорного умножения с двумерным векторным представлением задаются графически неориентированным графом. По лемме Шура неприводимые представления Γ x {±1} являются просто неприводимыми представлениями Γ, умноженными либо на тривиальный, либо на знаковый символ {±1}. Аналогично, неприводимые представления Γ‘, которые отправляют –1 в I, являются просто обычными представлениями Γ; в то время как те, которые отправляют –1 в –I, являются действительно двузначными или спинорными представлениями.

Пример. Для двойной икосаэдрической группы, если ${\displaystyle \varphi }$ является золотым сечением ${\displaystyle {1 \over 2}(1+{\sqrt {5}})}$ с обратным ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}={1 \over 2}(-1+{\sqrt {5}})}$, таблица характеров приведена ниже: спинорные характеры обозначены звездочками. Также приведена таблица характеров икосаэдрической группы.

Character table: double icosahedral group

${\displaystyle I_{h}^{\prime }}$	1	12C2	12C3	1C4	12C5	12C6	20C7	20C8	30C9
${\displaystyle \chi _{1}}$	1	1	1	1	1	1	1	1	1
${\displaystyle \chi _{3}}$	3	${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle -{\tilde {\varphi }}}$	3	${\displaystyle -{\tilde {\varphi }}}$	${\displaystyle \varphi }$	0	0	–1
${\displaystyle \chi _{3^{\prime }}}$	3	${\displaystyle -{\tilde {\varphi }}}$	${\displaystyle \varphi }$	3	${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle -{\tilde {\varphi }}}$	0	0	–1
${\displaystyle \chi _{4}}$	4	–1	–1	4	–1	–1	1	1	0
${\displaystyle \chi _{5}}$	5	0	0	5	0	0	–1	–1	0
${\displaystyle \chi _{2}^{*}}$	2	${\displaystyle -\varphi }$	${\displaystyle {\tilde {\varphi }}}$	–2	${\displaystyle -{\tilde {\varphi }}}$	${\displaystyle \varphi }$	–1	1	0
${\displaystyle \chi _{2^{\prime }}^{*}}$	2	${\displaystyle {\tilde {\varphi }}}$	${\displaystyle -\varphi }$	–2	${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle -{\tilde {\varphi }}}$	–1	1	0
${\displaystyle \chi _{4}^{*}}$	4	–1	–1	-4	–1	–1	1	0	–1
${\displaystyle \chi _{6}^{*}}$	6	1	1	–6	–1	–1	0	0	0

Character table: icosahedral group

${\displaystyle I_{h}}$	1	20C2	15C3	12C4	12C5
${\displaystyle \chi _{1}}$	1	1	1	1	1
${\displaystyle \chi _{3}}$	3	0	–1	${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle -{\tilde {\varphi }}}$
${\displaystyle \chi _{3^{\prime }}}$	3	0	–1	${\displaystyle -{\tilde {\varphi }}}$	${\displaystyle \varphi }$
${\displaystyle \chi _{4}}$	4	1	0	–1	–1
${\displaystyle \chi _{5}}$	5	–1	1	0	0

Правила тензорного произведения для тензоризации с двумерным представлением закодированы в виде диаграммы ниже:

Вверху нумерации <>, а затем слева направо: ${\displaystyle \chi _{2^{\prime }}^{*}}$, ${\displaystyle \chi _{4}}$, ${\displaystyle \chi _{6}^{*}}$, ${\displaystyle \chi _{5}}$, ${\displaystyle \chi _{4}^{*}}$, ${\displaystyle \chi _{3}}$, ${\displaystyle \chi _{2}^{*}}$ и ${\displaystyle \chi _{1}}$. Таким образом, при маркировке вершин несократимыми символами результат умножения ${\displaystyle \chi _{2}^{*}}$ по заданному несократимому символу равно сумме всех несократимых символов, помеченных соседней вершиной.

Теория представлений SU(2) восходит к девятнадцатому веку и теории инвариантов бинарных форм, с выдающимися фигурами Альфреда Клебша и Пола Гордана. Неприводимые представления SU(2) индексируются неотрицательными полуцелыми числами j. Если V — двумерное векторное представление, то V_j = S2j V, 2j-я симметричная степень V, (2j + 1)-мерное векторное пространство. Пусть G — компактная группа SU(2), тогда группа G действует неприводимо на каждом V_j и удовлетворяет правилам Клебша-Гордана:

${\displaystyle V_{i}\otimes V_{j}\cong V_{|i-j|}\oplus V_{|i-j|+1}\oplus \cdots \oplus V_{i+j-1}\oplus V_{i+j}.}$

В частности ${\displaystyle V_{j}\otimes V_{1 \over 2}\cong V_{j-{1 \over 2}}\oplus V_{j+{1 \over 2}}}$ для j > 0 и ${\displaystyle V_{0}\otimes V_{1 \over 2}\cong V_{1 \over 2}.}$ По определению матрица, представляющая g в V_j, это просто S2j ( g ). Так как каждый g сопряжен с диагональной матрицей с диагональными элементами ${\displaystyle \zeta }$ и ${\displaystyle \zeta ^{-1}}$ (порядок не имеет значения), в в этом случае S2j ( g ) имеет диагональные записи ${\displaystyle \zeta ^{2j}}$, ${\displaystyle \zeta ^{2j-1}}$, … ,${\displaystyle \zeta ^{-2j+1}}$, ${\displaystyle \zeta ^{-2j}}$. Настройка ${\displaystyle \pi _{j}(g)=S^{2j}(g),}$ это дает формулу символа

${\displaystyle \chi _{j}(g):={\rm {Tr}}\,\pi _{j}(g)=\sum _{k=-2j}^{2j}\zeta ^{k}={\zeta ^{2j+1}-\zeta ^{-2j-1} \over \zeta -\zeta ^{-1}}.}$

Подставляя ${\displaystyle \zeta =e^{i\alpha /2}}$, следует, что если g имеет диагональные записи ${\displaystyle e^{\pm i\alpha /2},}$ тогда

${\displaystyle \chi _{j}(g)={\sin(j+{1/2})\alpha \over \sin \alpha /2}.}$

Теорию представлений SU(2), включая теорию SO(3), можно развивать многими различными способами:

• using the complexification G_c = SL(2,C) and the double coset decomposition G_c = B · w · B ∐ B, where B denotes upper triangular matrices and ${\displaystyle w={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$;
• using the infinitesimal action of the Lie algebras of SU(2) and SL(2,C) where they appear as raising and lowering operators E, F, H of angular momentum in quantum mechanics: here E = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$, F = E* and H = [E,F] so that [H,E] = 2E and [H,F] = –2F;
• using integration of class functions over SU(2), identifying the unit quaternions with 3-sphere and Haar measure as the volume form: this reduces to integration over the diagonal matrices, i.e. the circle group T.

Свойства матричных коэффициентов или представительных функций компактной группы SU(2) (и SO(3)) хорошо документированы как часть теории специальных функций: оператор Казимира C = H2 + 2 EF + 2 FE коммутирует с алгебрами Ли и группами. Оператор

⁠1/4⁠ C можно отождествить с лапласианом Δ, так что на матричном коэффициенте φ от V_j, Δφ =(j2 + j)φ.

Представительные функции A образуют некоммутативную алгебру относительно свертки относительно меры Хаара μ. Аналогом для конечной подгруппы Γ группы SU(2) является конечномерная групповая алгебра C[Γ] Из правил Клебша-Гордана сверточная алгебра A изоморфна прямой сумме матриц n x n, где n = 2j + 1 и j ≥ 0. Матричные коэффициенты для каждого неприводимого представления V_j образуют набор матричных единиц. Это разложение в прямую сумму является теоремой Петера-Вейля. Соответствующий результат для C[Γ] является теоремой Машке. Алгебра A имеет собственные подпространства a(gζ) = a(g) или a(g)ζ, представляющие их как прямую сумму V_j, просуммированную по j неотрицательным целым числам или положительным полуцелым числам – это примеры индуцированных представлений. Он позволяет вычислять правила ветвления от SU(2) до Γ, так что V_j можно разложить как прямые суммы неприводимых представлений Γ.

История

Георг Фробениус вывел и перечислил в 1899 году таблицы характеров конечных подгрупп SU(2), двойного покрытия группы вращения SO(3). В 1875 году Феликс Клейн уже классифицировал эти конечные «бинарные» подгруппы на циклические группы, бинарные диэдральные группы, бинарную тетраэдральную группу, бинарную октаэдральную группу и бинарную икосаэдральную группу. Альтернативные выводы таблиц характеров были даны Иссаи Шуром и Х. Э. Йорданом в 1907 году; были также определены дальнейшие правила ветвления и формулы тензорного произведения.

В статье 1929 года о расщеплении атомов в кристаллах физик Х. Бете впервые ввёл термин «двойная группа» (Doppelgruppe), концепцию, которая позволила получить двузначные или спинорные представления конечных подгрупп группы. группу вращения следует рассматривать как обычные линейные представления их двойных накрытий.[a][b] В частности, Бете применил свою теорию к релятивистской квантовой механике и кристаллографическим точечным группам, где происходит естественное физическое ограничение до 32 точечных групп. Впоследствии некристаллографический случай икосаэдра также был исследован более широко, что привело совсем недавно к революционным достижениям в области углерода 60 и фуллеренов в 1980-х и 90-х годах. В 1982–1984 годах произошел еще один прорыв, связанный с икосаэдрической группой, на этот раз благодаря замечательной работе ученого-материаловеда Дэна Шехтмана по квазикристаллам, за которую он был удостоен Нобелевской премии по химии в 2011 году.

Приложения

Магнитохимия

В магнетохимии необходимость в двойной группе возникает в очень специфическом случае, а именно при обработке магнитных свойств комплексов иона металла, в электронной структуре которого имеется один неспаренный электрон (или его эквивалент, одна вакансия) в d— или f-оболочке иона металла. Это происходит, например, с элементами медью, серебром и золотом в степени окисления +2, где имеется одна вакансия в d-электронной оболочке, с титаном(III), который имеет один электрон в 3d-оболочке, и с церием(III), который имеет один электрон в 4f-оболочке.

В теории групп символ ${\displaystyle \chi }$, обозначающий поворот на угол α волновой функции для полуцелого углового импульс определяется как

${\displaystyle \chi ^{J}(\alpha )={\frac {\sin[J+1/2]\alpha }{\sin(1/2)\alpha }}}$

где угловой момент — это векторная сумма спина и орбитального момента, ${\displaystyle J=L+S}$. Эта формула применима к угловому моменту в целом.

В атомах с одним неспаренным электроном символ поворота на угол ${\displaystyle 2\pi +\alpha }$ равен ${\displaystyle -\chi ^{J}(\alpha )}$. Изменение знака не может быть истинным для операции тождества в любой точечной группе. Таким образом, используется двойная группа, в которой поворот на ${\displaystyle 2\pi }$ классифицируется как отличный от операции тождества. Таблица символов для двойной группы D’₄ выглядит следующим образом. Новая операция обозначена R в этом примере. Таблица символов для точечной группы D₄ показана для сравнения.

Character table: double group D’₄

D’4			C4	C43	C2	2C’2	2C»2
	E	R	C4R	C43R	C2R	2C’2R	2C»2R
A’1	1	1	1	1	1	1	1
A’2	1	1	1	1	1	-1	-1
B’1	1	1	-1	-1	1	1	-1
B’2	1	1	-1	-1	1	-1	1
E’1	2	-2	0	0	-2	0	0
E’2	2	-2	√2	-√2	0	0	0
E’3	2	-2	-√2	√2	0	0	0

Character table: point group D₄

D4	E	2 C4	C2	2 C2‘	2 C2
A1	1	1	1	1	1 +
A2	1	1	1	−1	−1
B1	1	−1	1	1	−1
B2	1	−1	1	−1	1
E	2	0	−2	0	0

В таблице для двойной группы операции симметрии, такие как C₄ и C₄R, относятся к одному и тому же классу, но заголовок для удобства показан в двух строках, а не C₄, C₄R в одной строке.

Таблицы характеров для двойных групп T’, O’, T_d‘, D_3h‘, C_6v‘, D₆‘, D_2d‘, C_4v‘, D₄‘, C_3v‘, D₃‘, C_2v‘, D₂‘ и R(3)’ приведены в работах Koster et al. (1963), Salthouse & Ware (1972) и Cornwell (1984).[d]

Необходимость в двойной группе возникает, например, при обработке магнитных свойств 6-координированных комплексов меди(II). Электронная конфигурация центрального иона Cu2+ может быть записана как [Ar]3d9. Можно сказать, что в 3d-электронной оболочке меди имеется одна вакансия, или дырка, которая может содержать до 10 электронов. Ион [Cu(H₂O)₆]2+ является типичным примером соединения с такой характеристикой.

(1) Six-coordinate complexes of the Cu(II) ion, with the generic formula [CuL₆]2+, are subject to the Jahn-Teller effect so that the symmetry is reduced from octahedral (point group O_h) to tetragonal (point group D_4h). Since d orbitals are centrosymmetric the related atomic term symbols can be classified in the subgroup D₄ .

(2) To a first approximation spin-orbit coupling can be ignored and the magnetic moment is then predicted to be 1.73 Bohr magnetons, the so-called spin-only value. However, for a more accurate prediction spin-orbit coupling must be taken into consideration. This means that the relevant quantum number is J, where J = L + S.

(3) When J is half-integer, the character for a rotation by an angle of α + 2π radians is equal to minus the character for rotation by an angle α. This cannot be true for an identity in a point group. Consequently, a group must be used in which rotations by α + 2π are classed as symmetry operations distinct from rotations by an angle α. This group is known as the double group, D₄‘.

В случае таких видов, как плоскоквадратный комплекс иона серебра(II) [AgF₄]2-, соответствующая двойная группа также D₄‘; отклонения от значения, учитывающего только спин, больше, поскольку величина спин-орбитальной связи больше для серебра(II), чем для меди(II).

Двойная группа также используется для некоторых соединений титана в степени окисления +3. Соединения титана(III) имеют один электрон в 3d оболочке. Было обнаружено, что магнитные моменты октаэдрических комплексов с общей формулой [TiL₆]n+ лежат в диапазоне 1,63 — 1,81 Б.М. при комнатной температуре. Двойная группа O’ используется для классификации их электронных состояний.

Ион церия(III) Ce3+ имеет единственный электрон в оболочке 4f. Магнитные свойства октаэдрических комплексов этого иона трактуются с использованием двойной группы O’.

Когда ион церия(III) инкапсулирован в клетку C₆₀, формула эндоэдрального фуллерена записывается как {Ce3+@C₆₀3-}.

Свободные радикалы

Двойные группы могут использоваться в связи со свободными радикалами. Это было проиллюстрировано для видов CH₃F+ и CH₃BF₂+, которые оба содержат один неспаренный электрон.