Коэффициент реституции

Коэффициент реституции (COR, также обозначаемый e) представляет собой отношение относительной скорости разделения после столкновения к относительной скорости сближения до столкновения. Ее также можно определить как квадратный корень из отношения конечной кинетической энергии к начальной кинетической энергии. Обычно оно находится в диапазоне от 0 до 1, где 1 соответствует абсолютно упругому столкновению. Совершенно неупругое столкновение имеет коэффициент 0, но значение 0 не обязательно должно быть абсолютно неупругим. Он измеряется в тесте на твердость по отскоку Либа и выражается как 1000-кратный COR, но это действительный COR только для теста, а не универсальный COR для испытуемого материала.

Значение почти всегда меньше 1 из-за того, что первоначальная кинетическая энергия поступательного движения теряется из-за кинетической энергии вращения, пластической деформации и тепла. Оно может быть больше 1, если во время столкновения происходит выигрыш в энергии из-за химической реакции, уменьшения энергии вращения или другого уменьшения внутренней энергии, которое способствует увеличению скорости после столкновения.

$${\displaystyle {\text{Coefficient of restitution }}(e)={\frac {\left|{\text{Relative velocity of separation after collision}}\right|}{\left|{\text{Relative velocity of approach before collision}}\right|}}={\sqrt {\frac {\left|{\text{Final kinetic energy}}\right|}{\left|{\text{Initial kinetic energy}}\right|}}}}$$

Математика была разработана сэром Исааком Ньютоном в 1687 году. Она также известна как экспериментальный закон Ньютона.

Линия удара – это линия, вдоль которой определяется e, или при отсутствии тангенциальной силы реакции между сталкивающимися поверхностями сила удара распределяется вдоль этой линии между телами. При физическом контакте тел при ударе ее линия проходит по общей нормали к паре поверхностей, соприкасающихся сталкивающихся тел. Следовательно, e определяется как безразмерный одномерный параметр.

e обычно представляет собой положительное действительное число от 0 до 1:

COR — это свойство пары объектов, находящихся в конфликте, а не отдельного объекта. Если данный объект сталкивается с двумя разными объектами, каждое столкновение будет иметь свой собственный COR. Когда объект описывается как имеющий коэффициент реституции, как если бы он был внутренним свойством без ссылки на второй объект, предполагается, что он находится между идентичными сферами или у совершенно жесткой стены.

Идеально жесткая стена невозможна, но ее можно аппроксимировать стальным блоком, если исследовать COR сфер с гораздо меньшим модулем упругости. В противном случае COR будет повышаться, а затем падать в зависимости от скорости столкновения более сложным образом.

При одномерном столкновении действуют два ключевых принципа: сохранение энергии (сохранение кинетической энергии, если столкновение совершенно упругое) и сохранение (линейного) импульса. Из этих двух можно вывести третье уравнение, которое представляет собой уравнение реституции, указанное выше. При решении задач можно использовать любые два из трех уравнений. Преимущество использования уравнения реституции состоит в том, что иногда оно обеспечивает более удобный способ решения проблемы.

Пусть ${\displaystyle m_{1}}$, ${\displaystyle m_{2}}$ — масса объекта 1 и объекта 2 соответственно. . Пусть ${\displaystyle u_{1}}$, ${\displaystyle u_{2}}$ — начальная скорость объекта 1 и объекта 2. соответственно. Пусть ${\displaystyle v_{1}}$, ${\displaystyle v_{2}}$ — конечная скорость объекта 1 и объекта 2. соответственно.
$${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\\m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\end{cases}}}$$
Из первого уравнения
$${\displaystyle m_{1}\left(u_{1}^{2}-v_{1}^{2}\right)=m_{2}\left(v_{2}^{2}-u_{2}^{2}\right)}$$
$${\displaystyle m_{1}\left(u_{1}+v_{1}\right)\left(u_{1}-v_{1}\right)=m_{2}\left(v_{2}+u_{2}\right)\left(v_{2}-u_{2}\right)}$$
Из второго уравнения
$${\displaystyle m_{1}\left(u_{1}-v_{1}\right)=m_{2}\left(v_{2}-u_{2}\right)}$$
После разделения,
$${\displaystyle u_{1}+v_{1}=v_{2}+u_{2}}$$
$${\displaystyle u_{1}-u_{2}=-(v_{1}-v_{2})}$$
$${\displaystyle {\frac {\left|v_{2}-v_{1}\right|}{\left|u_{1}-u_{2}\right|}}=1}$$
Приведенное выше уравнение представляет собой уравнение восстановления, а коэффициент восстановления равен 1, что соответствует идеально упругому столкновению.

Водители клюшек для гольфа с тонкими лицами используют «эффект батута», который создает удары на большее расстояние в результате изгиба и последующего высвобождения накопленной энергии, что придает мячу больший импульс. USGA (руководящий орган Америки по гольфу) проверяет водителей на COR и установила верхний предел на уровне 0,83. COR является функцией скорости головки клюшки и уменьшается по мере увеличения скорости головки клюшки. В отчете COR варьируется от 0,845 для скорости 90 миль в час до всего лишь 0,797 для скорости 130 миль в час. Вышеупомянутый «эффект батута» показывает это, поскольку он снижает степень напряжения при столкновении за счет увеличения времени столкновения. Согласно одной статье (касающейся COR в теннисных ракетках), «[f] или «Эталонные условия», используемый коэффициент восстановления составляет 0,85 для всех ракеток, исключая переменные натяжения струны и жесткости рамы, которые могут добавить или вычесть из коэффициента реституция».

Международная федерация настольного тенниса указывает, что мяч должен подпрыгивать на 24–26 см при падении с высоты 30,5 см на стандартный стальной блок, таким образом, коэффициент COR составляет от 0,887 до 0,923.

COR баскетбольного мяча определяется требованием, чтобы мяч отскакивал на высоту от 960 до 1160 мм при падении с высоты 1800 мм, в результате чего COR составляет 0,73–0,80.

В случае одномерного столкновения двух объектов, объекта A и объекта B, коэффициент восстановления определяется по формуле:

$${\displaystyle e={\frac {\left|v_{\text{b}}-v_{\text{a}}\right|}{\left|u_{\text{a}}-u_{\text{b}}\right|}},}$$ где:

Хотя e не зависит явно от массы объектов, важно отметить, что конечные скорости зависят от массы. Для двух- и трехмерных столкновений твердых тел используемые скорости представляют собой компоненты, перпендикулярные касательной линии/плоскости в точке контакта, т.е. вдоль линии удара.

Для объекта, отскакивающего от неподвижной цели, e определяется как отношение скорости объекта после удара к скорости до удара:

$${\displaystyle e={\frac {v}{u}},}$$ где

В случае, когда силами трения можно пренебречь и объект падает из состояния покоя на горизонтальную поверхность, это эквивалентно:

$${\displaystyle e={\sqrt {\frac {h}{H}}},}$$ где

Коэффициент восстановления можно рассматривать как меру степени сохранения механической энергии при отскоке объекта от поверхности. В случае отскока объекта от неподвижной цели изменение гравитационной потенциальной энергии E_p в ходе удара практически равно нулю; таким образом, e представляет собой сравнение кинетической энергии E_k объекта непосредственно перед ударом с энергией сразу после удара:

$${\displaystyle e={\sqrt {\frac {E_{\text{k, (after impact)}}}{E_{\text{k, (before impact)}}}}}={\sqrt {\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}}{{\frac {1}{2}}mu^{2}}}}={\sqrt {\frac {v^{2}}{u^{2}}}}={\frac {v}{u}}}$$

В тех случаях, когда силами трения можно пренебречь (почти каждая студенческая лаборатория по этому предмету) и объект падает из состояния покоя на горизонтальную поверхность, вышеизложенное эквивалентно сравнению между E_p объекта на высоте падения и на высоте отскока. В этом случае изменение E_k равно нулю (объект по существу находится в состоянии покоя во время удара, а также в состоянии покоя в вершине отскока). ; таким образом:
$${\displaystyle e={\sqrt {\frac {E_{\text{p, (at bounce height)}}}{E_{\text{p, (at drop height)}}}}}={\sqrt {\frac {mgh}{mgH}}}={\sqrt {\frac {h}{H}}}}$$

Уравнения для одномерных столкновений между упругими частицами можно изменить, чтобы использовать COR, что делает их применимыми также и к неупругим столкновениям, а также к каждой возможности между ними.

$${\displaystyle v_{\text{a}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}}$$
и
$${\displaystyle v_{\text{b}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{a}}C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}}$$
где

Приведенные выше уравнения могут быть получены из аналитического решения системы уравнений, образованной определением КОР и закона сохранения импульса (который справедлив для всех столкновений). Используя обозначения выше, где ${\displaystyle u}$ представляет скорость до столкновения, а ${\displaystyle v}$ после этого получается:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}=m_{\text{a}}v_{\text{a}}+m_{\text{b}}v_{\text{b}}\\&C_{R}={\frac {\left|v_{\text{b}}-v_{\text{a}}\right|}{\left|u_{\text{a}}-u_{\text{b}}\right|}}\\\end{aligned}}}$$

Решение уравнения сохранения импульса для ${\displaystyle v_{\text{a}}}$ и определение коэффициента восстановления для ${\displaystyle v_{\text{b}}}$< /span> дает:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}-m_{\text{b}}v_{\text{b}}}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\\&v_{\text{b}}=C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})+v_{\text{a}}\\\end{aligned}}}$$

Затем подставьте в первое уравнение ${\displaystyle v_{\text{b}}}$ и затем разрешите ${\displaystyle v_{\text{a}}}$ дает:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}-m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})-m_{\text{b}}v_{\text{a}}}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\\&\\&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\left[1+{\frac {m_{\text{b}}}{m_{\text{a}}}}\right]\\&\\&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}=v_{\text{a}}\\\end{aligned}}}$$

Аналогичный вывод дает формулу для ${\displaystyle v_{\text{b}}}$.

Когда сталкивающиеся объекты не имеют направления движения, совпадающего с их центрами тяжести и точкой удара, или если их контактные поверхности в этой точке не перпендикулярны этой линии, некоторая энергия, которая была бы доступна для столба -Разница скоростей столкновения будет потеряна из-за вращения и трения. Потери энергии на вибрацию и возникающий в результате звук обычно незначительны.

Когда мягкий объект сталкивается с более твердым объектом, большая часть энергии, доступной для скорости после столкновения, будет сохранена в мягком объекте. COR будет зависеть от того, насколько эффективно мягкий объект сохраняет энергию при сжатии, не теряя ее из-за тепла и пластической деформации. Резиновый мяч будет лучше отскакивать от бетона, чем стеклянный, но коэффициент теплового сопротивления стекло-стекло намного выше, чем резина-резина, потому что часть энергии резины теряется на тепло при ее сжатии. При столкновении резинового шарика со стеклянным шариком COR будет полностью зависеть от резины. По этой причине определение COR материала, когда нет идентичного материала для столкновения, лучше всего выполнять с использованием гораздо более твердого материала.

Поскольку не существует идеально жесткого материала, твердые материалы, такие как металлы и керамика, имеют свой COR, теоретически определенный путем рассмотрения столкновения между идентичными сферами. На практике может использоваться 2-шаровая колыбель Ньютона, но такая установка не способствует быстрому тестированию образцов.

Испытание на твердость по отскоку по Либу — единственный общедоступный тест, связанный с определением COR. В нем используется наконечник из карбида вольфрама, одного из самых твердых материалов, который падает на тестовые образцы с определенной высоты. Но форма наконечника, скорость удара и карбид вольфрама — все это переменные, влияющие на результат, выраженный в единицах 1000*COR. Он не дает объективного COR для материала, независимого от испытания.

Комплексное исследование коэффициентов восстановления в зависимости от свойств материала (модулей упругости, реологии), направления удара, коэффициента трения и адгезионных свойств ударяющихся тел можно найти в Willert (2020).

COR не является свойством материала, поскольку он меняется в зависимости от формы материала и особенностей столкновения, но его можно предсказать на основе свойств материала и скорости удара, если упростить особенности столкновения. Чтобы избежать осложнений, связанных с потерями на вращение и трение, мы можем рассмотреть идеальный случай идентичной пары сферических объектов, сталкивающихся так, что их центры масс и относительная скорость находятся на одной линии.

Многие материалы, такие как металлы и керамика (но не резина и пластмасса), считаются абсолютно эластичными, если их предел текучести не достигается при ударе. Энергия удара теоретически сохраняется только за счет пружинящего эффекта упругого сжатия и приводит к e = 1. Но это применимо только при скоростях менее примерно от 0,1 м/с до 1 м/с. Диапазон упругости может быть превышен при более высоких скоростях, поскольку вся кинетическая энергия сосредоточена в точке удара. В частности, предел текучести обычно превышается в части площади контакта, при этом энергия теряется из-за пластической деформации, поскольку не остается в упругой области. Чтобы учесть это, ниже оценивается COR путем оценки процента начальной энергии удара, которая не была потеряна в результате пластической деформации. Приблизительно он делит то, насколько легко объем материала может сохранять энергию при сжатии (${\displaystyle 1/{\text{elastic modulus}}}$) на то, насколько хорошо он может оставаться в диапазоне упругости (${\displaystyle 1/{\text{yield strength}}}$):

$${\displaystyle \%{\text{impact energy available for restitution}}\propto {\frac {\text{yield strength}}{\text{elastic modulus}}}}$$

Для заданной плотности и скорости материала это приводит к:
$${\displaystyle {\text{coefficient of restitution}}\propto {\sqrt {\frac {\text{yield strength}}{\text{elastic modulus}}}}}$$

Высокий предел текучести позволяет большей части «контактного объема» материала оставаться в упругой области при более высоких энергиях. Более низкий модуль упругости позволяет увеличить площадь контакта во время удара, поэтому энергия распределяется в большем объеме под поверхностью в точке контакта. Это помогает предотвратить превышение предела текучести.

Более точная теоретическая разработка показывает, что скорость и плотность материала также важны при прогнозировании COR при умеренных скоростях, более высоких, чем упругое столкновение (более 0,1 м/с для металлов), и более низких, чем большая постоянная пластическая деформация (менее 100 м/с). Более низкая скорость увеличивает коэффициент, требуя меньше энергии для поглощения. Более низкая плотность также означает, что нужно поглотить меньше начальной энергии. Плотность используется вместо массы, поскольку объем сферы уравновешивается объемом затронутого объема в области контакта. Таким образом, радиус сферы не влияет на коэффициент. Пара сталкивающихся сфер разных размеров, но из одного и того же материала, имеют тот же коэффициент, что и ниже, но умноженный на ${\textstyle \left({\frac {R_{1}}{R_{2}}}\right)^{{3}/{8}}}$

Объединив эти четыре переменные, можно сделать теоретическую оценку коэффициента восстановления, когда мяч падает на поверхность того же материала.

$${\displaystyle e=3.1\left({\frac {S_{\text{y}}}{1}}\right)^{5/8}\left({\frac {1}{E’}}\right)^{1/2}\left({\frac {1}{v}}\right)^{1/4}\left({\frac {1}{\rho }}\right)^{1/8}}$$
$${\displaystyle E’={\frac {E}{1-\mu ^{2}}}}$$

Это уравнение завышает фактический COR. Для металлов это применимо, когда v составляет приблизительно от 0,1 м/с до 100 м/с и, как правило, когда:
$${\displaystyle 0.001<{\frac {\rho v^{2}}{S_{\text{y}}}}<0.1}$$

При более низких скоростях COR выше, чем предсказывает приведенное выше уравнение, теоретически достигая e=1, когда указанная выше доля меньше ${\displaystyle 10^{-6}}$ м/с. Это дает следующий теоретический коэффициент восстановления для твердых сфер, упавших с высоты 1 метр (v = 4,5 м/с). Значения больше 1 указывают на то, что уравнение содержит ошибки. Вместо динамического предела текучести использовался предел текучести.

COR для пластмасс и резин превышает их фактические значения, поскольку они не ведут себя так идеально эластично, как металлы, стекла и керамика, из-за нагрева при сжатии. Таким образом, нижеследующее является лишь руководством по ранжированию полимеров.

Полимеры (оценка завышена по сравнению с металлами и керамикой):

Для металлов диапазон скоростей, к которым может применяться эта теория, составляет от 0,1 до 5 м/с, что представляет собой падение на 0,5 мм до 1,25 метра (стр. 366).

Цитируемые работы