Коэффициент Пуассона

В материаловедении и механике твердого тела коэффициент Пуассона ν (nu) является мерой Эффект Пуассона, деформация (расширение или сжатие) материала в направлениях, перпендикулярных определенному направлению нагрузки. Значение коэффициента Пуассона является отрицательным значением отношения поперечной деформации к осевой деформации. Для небольших значений этих изменений ν — это величина поперечного удлинения, деленная на величину осевого сжатия. Большинство материалов имеют значения коэффициента Пуассона в диапазоне от 0,0 до 0,5. Для мягких материалов, таких как резина, у которых модуль объемного сжатия намного выше модуля сдвига, коэффициент Пуассона составляет около 0,5. Для полимерных пенопластов с открытыми порами коэффициент Пуассона близок к нулю, поскольку ячейки имеют тенденцию разрушаться при сжатии. Многие типичные твердые вещества имеют коэффициент Пуассона в диапазоне от 0,2 до 0,3. Соотношение названо в честь французского математика и физика Симеона Пуассона.

Источник

Коэффициент Пуассона — это мера эффекта Пуассона, явления, при котором материал имеет тенденцию расширяться в направлениях, перпендикулярных направлению сжатия. И наоборот, если материал растягивается, а не сжимается, он обычно имеет тенденцию сжиматься в направлениях, поперечных направлению растяжения. Обычное наблюдение: когда резинку растягивают, она становится заметно тоньше. Опять же, коэффициент Пуассона будет отношением относительного сжатия к относительному расширению и будет иметь то же значение, что и выше. В некоторых редких случаях материал фактически сжимается в поперечном направлении при сжатии (или расширяется при растяжении), что приводит к отрицательному значению коэффициента Пуассона.

Коэффициент Пуассона стабильного, изотропного, линейно-упругого материала должен находиться в диапазоне от -1,0 до +0,5 из-за требования, чтобы модуль Юнга, модуль сдвига и модуль объемного сжатия имели положительные значения. Большинство материалов имеют значения коэффициента Пуассона в диапазоне от 0,0 до 0,5. Совершенно несжимаемый изотропный материал, упруго деформируемый при малых деформациях, будет иметь коэффициент Пуассона ровно 0,5. Большинство сталей и жестких полимеров при использовании в расчетных пределах (до текучести) имеют значения около 0,3, увеличиваясь до 0,5 при деформации после текучести, которая происходит в основном при постоянном объеме. Резина имеет коэффициент Пуассона около 0,5. Коэффициент Пуассона Корка близок к 0, демонстрируя очень небольшое поперечное расширение при сжатии, а коэффициент Пуассона составляет от 0,18 до 0,30. Некоторые материалы, например. некоторые полимерные пенопласты, складки оригами и некоторые ячейки могут иметь отрицательный коэффициент Пуассона и называются ауксетическими материалами. Если эти ауксетики растянуть в одном направлении, они станут толще в перпендикулярном направлении. Напротив, некоторые анизотропные материалы, такие как углеродные нанотрубки, сложенные листовые материалы на основе зигзагов и сотовые ауксетические метаматериалы, и это лишь некоторые из них, могут демонстрировать один или несколько коэффициентов Пуассона выше 0,5 в определенных направлениях.

Предполагая, что материал растягивается или сжимается только в одном направлении (ось x на диаграмме ниже):

${\displaystyle \nu =-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {trans} }}{d\varepsilon _{\mathrm {axial} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {y} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {z} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}}$

где

и положительная деформация указывает на растяжение, а отрицательная деформация указывает на сокращение.

Коэффициент Пуассона от изменения геометрии

Изменение длины

Для куба, растянутого в направлении x (см. рисунок 1) с увеличением длины на ΔL в направлении x и уменьшение длины на ΔL‘ в y— и z-направлениях, бесконечно малые диагональные деформации определяются выражением

${\displaystyle d\varepsilon _{x}={\frac {dx}{x}},\qquad d\varepsilon _{y}={\frac {dy}{y}},\qquad d\varepsilon _{z}={\frac {dz}{z}}.}$

Если коэффициент Пуассона постоянен из-за деформации, интегрирование этих выражений и использование определения коэффициента Пуассона дает

${\displaystyle -\nu \int _{L}^{L+\Delta L}{\frac {dx}{x}}=\int _{L}^{L+\Delta L’}{\frac {dy}{y}}=\int _{L}^{L+\Delta L’}{\frac {dz}{z}}.}$

Решение и возведение в степень связи между ΔL и ΔL′ тогда

${\displaystyle \left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{-\nu }=1+{\frac {\Delta L’}{L}}.}$

Для очень малых значений ΔL и ΔL′, приближение первого порядка дает:

${\displaystyle \nu \approx -{\frac {\Delta L’}{\Delta L}}.}$

Объемное изменение

Относительное изменение объема .tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac . num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px Solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1 em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px ​​0px,0px ​​0px);height: 1 пиксель; поле: -1 пиксель; переполнение: скрытый; отступ: 0; позиция: абсолютная; ширина: 1 пиксель

⁠ΔV/V ⁠ куба за счет растяжения материала теперь можно рассчитать. Поскольку V = L3 и

${\displaystyle V+\Delta V=(L+\Delta L)\left(L+\Delta L’\right)^{2}}$

можно вывести

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)\left(1+{\frac {\Delta L’}{L}}\right)^{2}-1}$

Используя приведенную выше производную связь между ΔL и ΔL‘ :

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{1-2\nu }-1}$

и для очень малых значений ΔL и ΔL′ , приближение первого порядка дает:

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}\approx (1-2\nu ){\frac {\Delta L}{L}}}$

Для изотропных материалов мы можем использовать соотношение Ламе

${\displaystyle \nu \approx {\frac {1}{2}}-{\frac {E}{6K}}}$

где K — модуль объемной упругости, а E — модуль Юнга.

Изменение ширины

Если стержень диаметром (или шириной, или толщиной) d и длиной L подвергается растяжению так, что его длина изменится на ΔL, то его диаметр d изменится на:

${\displaystyle {\frac {\Delta d}{d}}=-\nu {\frac {\Delta L}{L}}}$

Приведенная выше формула верна только в случае малых деформаций; если деформации велики, то можно использовать следующую (более точную) формулу:

${\displaystyle \Delta d=-d\left(1-{\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)}^{-\nu }\right)}$

где

Значение отрицательное, поскольку оно уменьшается с увеличением длины.

Характерные материалы

Изотропный

Для линейного изотропного материала, подвергающегося только сжимающим (то есть нормальным) силам, деформация материала в направлении одной оси приведет к деформации материала вдоль другой оси в трех измерениях. Таким образом, можно обобщить закон Гука (для сжимающих сил) на три измерения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{xx}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{xx}-\nu \left(\sigma _{yy}+\sigma _{zz}\right)\right]\\[6px]\varepsilon _{yy}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{yy}-\nu \left(\sigma _{zz}+\sigma _{xx}\right)\right]\\[6px]\varepsilon _{zz}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{zz}-\nu \left(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}\right)\right]\end{aligned}}}$

где:

все эти уравнения могут быть синтезированы следующим образом:

${\displaystyle \varepsilon _{ii}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ii}(1+\nu )-\nu \sum _{k}\sigma _{kk}\right]}$

В самом общем случае касательные напряжения будут сохраняться так же, как и нормальные напряжения, а полное обобщение закона Гука дается формулой:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ij}(1+\nu )-\nu \delta _{ij}\sum _{k}\sigma _{kk}\right]}$

где δ_ij — дельта Кронекера. Обычно принимаются обозначения Эйнштейна:

${\displaystyle \sigma _{kk}\equiv \sum _{l}\delta _{kl}\sigma _{kl}}$

записать уравнение просто так:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ij}(1+\nu )-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}\right]}$

Анизотропный

Для анизотропных материалов коэффициент Пуассона зависит от направления растяжения и поперечной деформации.

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (\mathbf {n} ,\mathbf {m} )&=-E\left(\mathbf {n} \right)s_{ij\alpha \beta }n_{i}n_{j}m_{\alpha }m_{\beta }\\[4px]E^{-1}(\mathbf {n} )&=s_{ij\alpha \beta }n_{i}n_{j}n_{\alpha }n_{\beta }\end{aligned}}}$

Здесь ν — коэффициент Пуассона, E< /span> — модуль Юнга, n — единичный вектор, направленный вдоль направления растяжения, m — единичный вектор, направленный перпендикулярно направлению расширения. Коэффициент Пуассона имеет различное количество особых направлений в зависимости от типа анизотропии.

Ортотропный

Ортотропные материалы имеют три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии в своих материальных свойствах. Примером может служить древесина, которая наиболее жесткая (и прочная) вдоль волокон и менее жесткая в других направлениях.

Тогда закон Гука можно выразить в матричной форме как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$

где

Коэффициент Пуассона ортотропного материала различен в каждом направлении (x, y и z). Однако симметрия тензоров напряжений и деформаций подразумевает, что не все шесть коэффициентов Пуассона в уравнении независимы. Существует только девять независимых свойств материала: три модуля упругости, три модуля сдвига и три коэффициента Пуассона. Остальные три коэффициента Пуассона можно получить из соотношений

${\displaystyle {\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}\,,\qquad {\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}={\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}\,,\qquad {\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}}$

Из приведенных выше соотношений мы видим, что если E_x > E_y, затем ν _ху > ν_yx. Большее соотношение (в данном случае ν_xy) называется основным коэффициент Пуассона, а меньший (в данном случае ν_yx) называется малым коэффициентом Пуассона. Аналогичные соотношения мы можем найти и между другими коэффициентами Пуассона.

Трансверсально изотропный

Трансверсально-изотропные материалы имеют плоскость изотропии, в которой упругие свойства изотропны. Если предположить, что этой плоскостью изотропии является yz-плоскость, то закон Гука примет вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {yz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {zx}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xy}}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$

где мы использовали yz-плоскость изотропии для уменьшения количества констант, то есть,

${\displaystyle E_{y}=E_{z},\qquad \nu _{xy}=\nu _{xz},\qquad \nu _{yx}=\nu _{zx}.}$.

Из симметрии тензоров напряжений и деформаций следует, что

${\displaystyle {\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}={\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}},\qquad \nu _{yz}=\nu _{zy}.}$

В результате у нас остается шесть независимых констант E_x, E_y, G_xy, G_yz , ν_xy, ν< /i>_yz. Однако поперечная изотропия приводит к дополнительному ограничению между G_yz и E_y, ν< sub>yz, который

${\displaystyle G_{yz}={\frac {E_{y}}{2\left(1+\nu _{yz}\right)}}.}$

Таким образом, существует пять независимых свойств упругого материала, два из которых являются коэффициентами Пуассона. Для предполагаемой плоскости симметрии большее из ν_xy и ν_yx – это основной коэффициент Пуассона. Остальные основные и второстепенные коэффициенты Пуассона равны.

Значения коэффициента Пуассона для разных материалов

Material	Poisson’s ratio
rubber	0.4999
gold	0.42–0.44
saturated clay	0.40–0.49
magnesium	0.252–0.289
titanium	0.265–0.34
copper	0.33
aluminium alloy	0.32
clay	0.30–0.45
stainless steel	0.30–0.31
steel	0.27–0.30
cast iron	0.21–0.26
sand	0.20–0.455
concrete	0.1–0.2
glass	0.18–0.3
metallic glasses	0.276–0.409
foam	0.10–0.50
cork	0.0

Material	Plane of symmetry	νxy	νyx	νyz	νzy	νzx	νxz
Nomex honeycomb core	xy, ribbon in x direction	0.49	0.69	0.01	2.75	3.88	0.01
glass fiber epoxy resin	xy	0.29	0.32	0.06	0.06	0.32

Материалы с отрицательным коэффициентом Пуассона

Некоторые материалы, известные как ауксетики, имеют отрицательный коэффициент Пуассона. При воздействии положительной деформации по продольной оси поперечная деформация материала фактически будет положительной (т. е. она увеличит площадь поперечного сечения). Для этих материалов это обычно происходит из-за уникально ориентированных шарнирных молекулярных связей. Чтобы эти связи растягивались в продольном направлении, петли должны «открываться» в поперечном направлении, эффективно демонстрируя положительную деформацию.
Это также можно сделать структурированным образом и привести к новым аспектам дизайна материалов, например, механических метаматериалов.

Исследования показали, что некоторые виды твердой древесины демонстрируют отрицательный коэффициент Пуассона исключительно во время испытания на ползучесть при сжатии. Первоначально испытание на ползучесть при сжатии показывает положительный коэффициент Пуассона, но постепенно уменьшается, пока не достигнет отрицательных значений. Следовательно, это также показывает, что коэффициент Пуассона для древесины зависит от времени при постоянной нагрузке, что означает, что деформация в осевом и поперечном направлении не увеличивается с одинаковой скоростью.

Среды с искусственно созданной микроструктурой могут иметь отрицательный коэффициент Пуассона. В простом случае ауксетичность достигается удалением материала и созданием периодической пористой среды. Решетки могут достигать более низких значений коэффициента Пуассона, которые могут быть бесконечно близки к предельному значению -1 в изотропном случае.

Более трехсот кристаллических материалов имеют отрицательный коэффициент Пуассона. Например, Li, Na, K, Cu, Rb, Ag, Fe, Ni, Co, Cs, Au, Be, Ca, Zn Sr, Sb, MoS₂ и другие.

Функция Пуассона

При конечных деформациях соотношение между поперечными и осевыми деформациями ε_trans и < i>ε_осевой обычно плохо описывается коэффициентом Пуассона. Фактически, коэффициент Пуассона часто считают функцией приложенной деформации в режиме большой деформации. В таких случаях коэффициент Пуассона заменяется функцией Пуассона, для которой существует несколько конкурирующих определений. Определение поперечного растяжения λ_trans = ε_trans + 1 и осевое растяжение λ_осевое = ε_осевое + 1, где поперечное растяжение является функцией осевого растяжения, наиболее распространенными являются функции Хенки, Био, Грина и Альманси:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu ^{\text{Hencky}}&=-{\frac {\ln \lambda _{\text{trans}}}{\ln \lambda _{\text{axial}}}}\\[6pt]\nu ^{\text{Biot}}&={\frac {1-\lambda _{\text{trans}}}{\lambda _{\text{axial}}-1}}\\[6pt]\nu ^{\text{Green}}&={\frac {1-\lambda _{\text{trans}}^{2}}{\lambda _{\text{axial}}^{2}-1}}\\[6pt]\nu ^{\text{Almansi}}&={\frac {\lambda _{\text{trans}}^{-2}-1}{1-\lambda _{\text{axial}}^{-2}}}\end{aligned}}}$

Применение эффекта Пуассона

Одной из областей, в которой эффект Пуассона оказывает значительное влияние, является поток в трубе под давлением. Когда воздух или жидкость внутри трубы находятся под высоким давлением, они оказывают равномерное усилие на внутреннюю часть трубы, что приводит к кольцевому напряжению в материале трубы. Из-за эффекта Пуассона это кольцевое напряжение приведет к увеличению диаметра трубы и небольшому уменьшению ее длины. Уменьшение длины, в частности, может оказать заметное влияние на стыки труб, поскольку эффект будет накапливаться для каждой секции трубы, соединенной последовательно. Защемленное соединение может быть разорвано или иным образом подвержено разрушению.

Другая область применения эффекта Пуассона находится в области структурной геологии. Камни, как и большинство материалов, в состоянии стресса подвержены эффекту Пуассона. В геологическом масштабе времени чрезмерная эрозия или седиментация земной коры может либо создать, либо устранить большие вертикальные напряжения в подстилающих породах. Эта порода будет расширяться или сжиматься в вертикальном направлении в результате приложенного напряжения, а также деформироваться в горизонтальном направлении в результате эффекта Пуассона. Это изменение деформации в горизонтальном направлении может повлиять на трещины и дремлющие напряжения в породе или сформировать их.

Хотя исторически пробка выбиралась для запечатывания винных бутылок по другим причинам (в том числе из-за ее инертной природы, непроницаемости, гибкости, герметичности и устойчивости), нулевой коэффициент Пуассона пробки дает еще одно преимущество. Когда пробка вставляется в бутылку, еще не вставленная верхняя часть не расширяется в диаметре, поскольку сжимается в осевом направлении. Сила, необходимая для вставки пробки в бутылку, возникает только за счет трения между пробкой и бутылкой из-за радиального сжатия пробки. Если бы стопор был изготовлен, например, из резины (с коэффициентом Пуассона около +0,5), то для преодоления радиального расширения верхней части резинового стопора потребовалась бы сравнительно большая дополнительная сила.

Большинству автомехаников известно, что трудно стянуть резиновый шланг (например, шланг охлаждающей жидкости) с патрубка металлической трубы, так как натяжение при натяжении приводит к уменьшению диаметра шланга, плотно сжимая патрубок. (Это тот же эффект, что и в китайской ловушке для пальцев.) Шланги легче снять с заглушек, используя вместо этого широкое плоское лезвие.

Есть два верных решения.

Знак плюс ведет к < >.< бр/>