J-интеграл

J-интеграл представляет собой способ расчета скорости выделения энергии деформации или работы (энергии) на единицу площади поверхности разрушения в материале. Теоретическая концепция J-интеграла была разработана в 1967 году Г. П. Черепановым и независимо в 1968 году Джеймсом Р. Райсом, который показал, что энергетический контурный интеграл по пути (называемый J) не зависит от пути вокруг объекта. трескаться.

Экспериментальные методы были разработаны с использованием интеграла, который позволил измерить критические свойства разрушения в размерах выборок, которые слишком малы для того, чтобы линейная механика упругого разрушения (LEFM) была достоверной. Эти эксперименты позволяют определить вязкость разрушения по критическому значению энергии разрушения J_Ic, которое определяет точку, в которой происходит крупномасштабное пластическое течение во время распространения в режиме I. загрузка.

J-интеграл равен скорости выделения энергии деформации для трещины в теле, подвергнутом монотонному нагружению. В квазистатических условиях это вообще верно только для линейно-упругих материалов. Для материалов, которые испытывают небольшую текучесть на вершине трещины, J можно использовать для расчета скорости выделения энергии в особых обстоятельствах, таких как монотонная нагрузка в режиме III (антиплоский сдвиг). Скорость выделения энергии деформации также можно рассчитать по формуле J для чисто степенных упрочняющихся пластиков, которые подвергаются небольшой текучести на вершине трещины.

Величина J не является независимой от пути для монотонного режима I и режима II нагрузки упругопластических материалов, поэтому только контур, очень близкий к вершине трещины, дает скорость высвобождения энергии. Кроме того, Райс показал, что J не зависит от пути в пластических материалах, когда нет непропорциональной нагрузки. Разгрузка является частным случаем этого, но непропорциональная пластическая нагрузка также делает независимость от пути недействительной. Такая непропорциональная нагрузка является причиной зависимости от пути для режимов нагрузки в плоскости на упругопластических материалах.

Двумерный J-интеграл первоначально был определен как (см. рисунок 1 для иллюстрации)

где W(x₁,x₂) — плотность энергии деформации, x₁,x₂ — направления координат, t = [σ]n — вектор поверхностного сцепления, n — нормаль к кривой Γ, [σ] — вектор Коши тензор напряжений, а u — вектор смещения. Плотность энергии деформации определяется выражением

J-интеграл вокруг вершины трещины часто выражается в более общей форме (и в индексных обозначениях) как

где ${\displaystyle J_{i}}$ — составляющая J-интеграла для раскрытия трещины в ${\displaystyle x_{i}}$ направление, а ${\displaystyle \varepsilon }$ — небольшая область вокруг вершины трещины.
Используя теорему Грина, мы можем показать, что этот интеграл равен нулю, когда граница ${\displaystyle \Gamma }$ замкнута и охватывает область, не содержащую особенностей и односвязную. Если на берегах трещины нет поверхностного сцепления, то J-интеграл также не зависит от пути.

Райс также показал, что значение J-интеграла представляет собой скорость выделения энергии при росте плоской трещины.
J-интеграл был разработан из-за трудностей расчета напряжений вблизи трещины в нелинейно-упругом или упругопластическом материале. Райс показал, что если предположить монотонную нагрузку (без какой-либо пластической разгрузки), то J-интеграл можно использовать и для расчета скорости энерговыделения пластиковых материалов.

Для изотропных, совершенно хрупких, линейно-упругих материалов J-интеграл может быть напрямую связан с вязкостью разрушения, если трещина распространяется прямо вперед по отношению к ее первоначальной ориентации.

Для плоской деформации в условиях нагружения режима I это соотношение имеет вид

где ${\displaystyle G_{\rm {Ic}}}$ — скорость выделения энергии критической деформации, ${\displaystyle K_{\rm {Ic}}}$ — разрушение ударная вязкость при нагрузке в режиме I, ${\displaystyle \nu }$ — коэффициент Пуассона, а E — модуль Юнга материала.

Для нагрузки в режиме II соотношение между J-интегралом и вязкостью разрушения в режиме II (${\displaystyle K_{\rm {IIc}}}$) равно

Для загрузки в режиме III соотношение

Хатчинсон, Райс и Розенгрен впоследствии показали, что J характеризует сингулярные поля напряжений и деформаций на вершине трещины в нелинейных (степенных упрочняющих) упругопластических материалах, где размер пластической зоны мал по сравнению с длиной трещины. Хатчинсон использовал материальный конститутивный закон вида, предложенного У. Рамбергом и У. Осгудом:

где σ — напряжение при одноосном растяжении, σ_y — предел текучести, ε — деформация, и ε_y = σ_y/E — соответствующий предел текучести. Величина E представляет собой модуль упругости материала. Модель параметризуется α, безразмерной постоянной характеристикой материала, и n, коэффициентом наклепа. Эта модель применима только для ситуаций, когда напряжение возрастает монотонно, компоненты напряжений остаются примерно в тех же соотношениях по мере развития нагружения (пропорциональное нагружение), а разгрузка отсутствует.

Если к телу, показанному на соседнем рисунке, приложено растягивающее напряжение σ_far, J-интеграл по пути Γ₁ (выбрано полностью внутри упругой зоны) определяется выражением

Поскольку полный интеграл вокруг трещины равен нулю, а вклады вдоль поверхности трещины равны нулю, то имеем

Если путь Γ₂ выбран так, что он находится внутри полностью пластической области, Хатчинсон показал, что

где K — амплитуда напряжения, (r,θ) — полярная система координат с началом в вершине трещины, s< /i> — константа, определяемая из асимптотического разложения поля напряжений вокруг трещины, а I — безразмерный интеграл. Связь между J-интегралами вокруг Γ₁ и Γ₂ приводит к ограничению

и выражение для K в терминах напряжения в дальней зоне

где β = 1 для плоского напряжения и β = 1 − ν² для плоской деформации (ν — коэффициент Пуассона).

Асимптотическое разложение поля напряжений и изложенные выше идеи можно использовать для определения полей напряжений и деформаций в терминах J-интеграла:

где ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{ij}}$ и ${\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}_{ij}}$ — безразмерные функции.

Эти выражения показывают, что J можно интерпретировать как пластический аналог коэффициента интенсивности напряжений (K), который используется в линейной механике упругого разрушения, т.е. мы можем использовать критерий например, J > J_Ic в качестве критерия роста трещины.