Интеграл Дюамеля

В теории колебаний интеграл Дюамеля представляет собой способ расчета реакции линейных систем и конструкций на произвольное изменяющееся во времени внешнее возмущение.

Реакция линейной вязкодемпфированной системы с одной степенью свободы (SDOF) на изменяющееся во времени механическое возбуждение p(t) определяется следующим уравнением второго порядка: обыкновенное дифференциальное уравнение

где m — (эквивалентная) масса, x — амплитуда вибрации, t — время, c для коэффициента вязкого демпфирования и k для жесткости системы или конструкции.

Если система изначально находится в положении равновесия, откуда на нее действует единичный импульс в момент t=0, т. е. p(t ) в приведенном выше уравнении является дельта-функцией Дирака δ(t), ${\textstyle x(0)=\left.{\frac {dx}{dt}}\right|_{t=0}=0}$, то решив дифференциальное уравнение, можно получить фундаментальное решение (известное как функция единичного импульсного отклика)

где ${\textstyle \varsigma ={\frac {c}{2{\sqrt {km}}}}}$ называется коэффициентом демпфирования системы, ${\textstyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ — это коэффициент демпфирования системы. собственная угловая частота незатухающей системы (когда c=0) и ${\textstyle \omega _{d}=\omega _{n}{\sqrt {1-\varsigma ^{2}}}}$ — это угловая частота, когда учитывается эффект демпфирования учетная запись (когда ${\displaystyle c\neq 0}$). Если импульс происходит в момент t=τ вместо t=0, т.е. ${\displaystyle p(t)=\delta (t-\tau )}$, импульсная характеристика

Рассматривая произвольно меняющееся возбуждение p(t) как суперпозицию серии импульсов:

тогда из линейности системы известно, что общий отклик также можно разбить на суперпозицию ряда импульсных откликов:

Полагая ${\displaystyle \Delta \tau \to 0}$ и заменяя суммирование интегрированием, приведенное выше уравнение строго справедливо.

Подстановка выражения h(t—τ) в приведенное выше уравнение приводит к общему выражению интеграла Дюамеля

Приведенное выше уравнение динамического равновесия SDOF в случае p(t)=0 представляет собой однородное уравнение:

Решение этого уравнения:

Замена: ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left({\bar {c}}-{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}}\right),\;B={\frac {1}{2}}\left({\bar {c}}+{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}}\right),\;P={\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}},\;P=B-A}$ приводит к:

Одно частное решение неоднородного уравнения: ${\textstyle {\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+{\bar {c}}{\frac {dx(t)}{dt}}+{\bar {k}}x(t)={\bar {p}}(t)}$, где ${\textstyle {\bar {p}}(t)={\frac {p(t)}{m}}}$, может быть получено методом Лагранжа для вывода частных решений неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Это решение имеет вид:

Теперь заменим:${\textstyle \left.\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{At}dt}\right|_{t=z}=Q_{z},\left.\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{Bt}dt}\right|_{t=z}=R_{z}}$, где ${\textstyle \left.\int x(t)dt\right|_{t=z}}$ — это примитив x(t) вычисляется по адресу t=z, в случае z= t этот интеграл сам является примитивом, дает:

Наконец, общее решение приведенного выше неоднородного уравнения представляется в виде:

с производной по времени:

Чтобы найти неизвестные константы ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$, будут применены нулевые начальные условия:

Теперь, объединив оба начальных условия вместе, получим следующую систему уравнений:

Обратная подстановка констант ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ в приведенное выше выражение для x(t) дает:

Замена ${\displaystyle Q_{t}-Q_{0}}$ и ${\displaystyle R_{t}-R_{0}}$ (разница между примитивами в t=t и t=0) с определенными интегралами (по другой переменной τ) покажет общее решение с нулевым начальным значением условия, а именно:

Наконец, подставляя ${\displaystyle c=2\xi \omega m,\;k=\omega ^{2}m}$, соответственно ${\displaystyle {\bar {c}}=2\xi \omega ,{\bar {k}}=\omega ^{2}}$, где ξ<1 дает:

Подстановка этих выражений в приведенное выше общее решение с нулевыми начальными условиями и использование экспоненциальной формулы Эйлера приведет к сокращению мнимых членов и раскроет решение Дюамеля: