Гравитационный поезд

Гравитационный поезд — это теоретическое средство передвижения между двумя точками на поверхности сферы, следуя по прямому туннелю, соединяющему две точки, через внутреннюю часть сферы.

В большом теле, таком как планета, этому поезду можно было бы позволить ускоряться, используя только силу тяжести, поскольку в течение первой половины пути (от точки отправления до середины) тяга вниз к центру тяжести потянул бы его к месту назначения. Во второй половине пути ускорение было бы в направлении, противоположном траектории, но, пренебрегая эффектами трения, приобретенная ранее скорость преодолела бы это замедление, и в результате скорость поезда достигла бы нуля при примерно в тот момент, когда поезд достиг пункта назначения.

В 17 веке британский учёный Роберт Гук в письме Исааку Ньютону представил идею объекта, ускоряющегося внутри планеты. Проект гравитационного поезда всерьез был представлен Французской академии наук в XIX веке. Та же самая идея была предложена, без каких-либо расчетов, Льюисом Кэрроллом в 1893 году в книге Заключение Сильви и Бруно. Идея была вновь открыта в 1960-х годах, когда физик Пол Купер опубликовал в Американском журнале физики статью, в которой предлагал рассмотреть возможность использования гравитационных поездов в качестве будущего транспортного проекта.

В предположении о сферической планете с однородной плотностью и без учета релятивистских эффектов, а также трения гравитационный поезд имеет следующие свойства:

Для гравитационных поездов между точками, которые не являются антиподами друг друга, справедливы следующие условия:

Конкретно на планете Земля, поскольку движение гравитационного поезда является проекцией движения спутника на очень низкой околоземной орбите на линию, оно имеет следующие параметры:

Для сравнения: самая глубокая на данный момент скважина — это Кольская сверхглубокая скважина с истинной глубиной 12 262 метра; Чтобы преодолеть расстояние между Лондоном и Парижем (350 км) по гипоциклоидной дороге, потребуется создать яму глубиной 111 408 метров. Такая глубина не только в 9 раз больше, но и требует создания туннеля, проходящего через мантию Земли.

Используя приближения, согласно которым Земля имеет идеальную сферическую форму и одинаковую плотность ${\displaystyle \rho }$, а также тот факт, что внутри однородной полой сферы нет гравитации, гравитационное ускорение ${\displaystyle a}$, воспринимаемый телом внутри Земли, пропорционален отношению расстояния от центра ${\displaystyle r}$ до радиуса Земли ${\displaystyle R}$. Это связано с тем, что под землей на расстоянии ${\displaystyle r}$ от центра все равно что находиться на поверхности планеты радиусом ${\displaystyle r}$ внутри полой сферы, которая ничего не дает.

На поверхности ${\displaystyle r=R}$, поэтому гравитационное ускорение равно ${\displaystyle g=G\rho {\frac {4}{3}}\pi \,R}$. Следовательно, гравитационное ускорение в точке ${\displaystyle r}$ равно

В случае прямой, проходящей через центр Земли, ускорение тела равно ускорению силы тяжести: оно свободно падает прямо вниз. Мы начинаем падать на поверхность, поэтому в момент времени ${\displaystyle t}$ (считая ускорение и скорость положительными при движении вниз):

Дифференцируем дважды:

где ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{R}}}}$. Этот класс задач, в которых существует возвращающая сила, пропорциональная смещению от нуля, имеет общие решения вида ${\displaystyle r=k\cos(\omega t+\varphi )}$ и описывает простое гармоническое движение. например, в пружине или маятнике.

В этом случае ${\displaystyle r_{t}=R\cos {\sqrt {\frac {g}{R}}}\,t}$, так что ${\displaystyle r_{0}=R}$ мы начинаем с поверхности в точке нулевое время и вечно колебаться взад и вперед.

Время прохождения к антиподам составляет половину одного цикла этого осциллятора, то есть время, за которое аргумент ${\displaystyle \cos {\sqrt {\frac {g}{R}}}\,t}$ выметает ${\displaystyle {\pi }}$ радиан. Используя простые приближения ${\displaystyle g=10{\text{ m}}/{\text{s}}^{2},R=6500{\text{ km}}}$, время равно

Для более общего случая прямой линии между любыми двумя точками на поверхности сферы мы вычисляем ускорение тела, когда оно движется без трения по своей прямой траектории.

Тело движется по АОВ, где О — середина пути и ближайшая точка к центру Земли на этом пути. На расстоянии ${\displaystyle r}$ по этому пути сила гравитации зависит от расстояния ${\displaystyle x}$ к центру Земли, как указано выше. Использование сокращения ${\displaystyle b=R\sin \theta }$ для длины OC:

Результирующее ускорение тела, т.к. оно на без трения
наклонная поверхность, равна ${\displaystyle g_{r}\cos \varphi }$:

Но ${\displaystyle \cos \varphi }$ — это ${\displaystyle r/x={\frac {r}{\sqrt {r^{2}+b^{2}}}}}$, поэтому замена:

что для этого нового ${\displaystyle r}$ абсолютно то же самое, расстояние вдоль AOB от O, что и для ${\displaystyle r}$< /span> в диаметральном случае вдоль ACD. Таким образом, оставшийся анализ остается таким же, учитывая начальное условие, что максимальный ${\displaystyle r}$ равен ${\displaystyle R\cos \theta =AO}$ полное уравнение движения:

Постоянная времени ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{R}}}}$ такая же, как и в диаметральном случае, поэтому время в пути по-прежнему составляет 42 минуты; просто все расстояния и скорости масштабируются с помощью постоянной ${\displaystyle \cos \theta }$.

Постоянная времени ${\displaystyle \omega }$ зависит только от ${\displaystyle {\frac {g}{R}}}$, поэтому, если мы расширим ее, мы получать

которая зависит только от гравитационной постоянной и ${\displaystyle \rho }$ плотности планеты. Размер планеты не имеет значения; время в пути одинаково, если плотность одинакова.

В фильме 2012 года «Вспомнить все» гравитационный поезд «Падение» проходит через центр Земли, курсируя между Западной Европой и Австралией.