Эллипсоид напряжений Ламе

Эллипсоид напряжений Ламе является альтернативой кругу Мора для графического представления напряженного состояния в точке. Поверхность эллипсоида представляет собой место расположения концов всех векторов напряжений, действующих на все плоскости, проходящие через данную точку в сплошном теле. Другими словами, концы всех векторов напряжений в данной точке сплошного тела лежат на поверхности эллипсоида напряжений, т. е. радиус-вектора от центра эллипсоида, расположенного в рассматриваемой материальной точке, к точке на поверхность эллипсоида равна вектору напряжений на некоторой плоскости, проходящей через точку. В двух измерениях поверхность представлена ​​эллипсом.

Зная уравнения эллипсоида, можно определить величину вектора напряжения для любой плоскости, проходящей через эту точку.

Для определения уравнения эллипсоида напряжений рассмотрим оси координат ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\,\!}$, взятые в направлениях главных осей, т.е. в пространстве главных напряжений. Таким образом, координаты вектора напряжений ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\!}$ на плоскости с нормальным единичным вектором ${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$< /span>, проходящий через заданную точку, ${\displaystyle P\,\!}$ представлен как

Зная, что ${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$ — это единичный вектор, мы имеем

которое представляет собой уравнение эллипсоида с центром в начале системы координат, с длинами полуосей эллипсоида, равными величинам главных напряжений, т.е. точки пересечения эллипсоида с главными осями равны ${\displaystyle \pm \sigma _{1},\pm \sigma _{2},\pm \sigma _{3}\,\!}$.

Однако эллипсоид напряжений сам по себе не указывает плоскость, на которой действует данный вектор тяги. Лишь для случая, когда вектор напряжений лежит вдоль одного из главных направлений, можно узнать направление плоскости, так как главные напряжения действуют перпендикулярно их плоскостям. Чтобы найти ориентацию любой другой плоскости, мы использовали поверхность директора напряжения или квадрику директора напряжения, представленную уравнением

Напряжение, представленное радиус-вектором эллипсоида напряжений, действует на плоскости, ориентированной параллельно касательной плоскости к поверхности директора напряжений в точке ее пересечения с радиус-вектором.