Эффективный потенциал

эффективный потенциал (также известный как эффективная потенциальная энергия) объединяет несколько, возможно, противоположных эффектов в единый потенциал. В своей основной форме это сумма «противоположной» центробежной потенциальной энергии с потенциальной энергией динамической системы. Его можно использовать для определения орбит планет (как ньютоновских, так и релятивистских) и для выполнения полуклассических атомных расчетов, и часто позволяет свести проблемы к меньшему количеству измерений.

Основная форма потенциала ${\displaystyle U_{\text{eff}}}$ определяется как:
$${\displaystyle U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )={\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+U(\mathbf {r} ),}$$
где

Таким образом, эффективная сила представляет собой отрицательный градиент эффективного потенциала:
$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{eff}}&=-\nabla U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )\\&={\frac {L^{2}}{\mu r^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}-\nabla U(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$
где ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ обозначает единичный вектор в радиальном направлении.

Эффективный потенциал обладает многими полезными свойствами, такими как
$${\displaystyle U_{\text{eff}}\leq E.}$$

Чтобы найти радиус круговой орбиты, просто минимизируйте эффективный потенциал относительно ${\displaystyle r}$ или, что эквивалентно, установите чистую силу равной нулю, а затем решите для ${\displaystyle r_{0}}$:
$${\displaystyle {\frac {dU_{\text{eff}}}{dr}}=0}$$
После решения для ${\displaystyle r_{0}}$ подставьте это обратно в ${\displaystyle U_{\text{eff}}}$, чтобы найти максимальное значение эффективного потенциала ${\displaystyle U_{\text{eff}}^{\text{max}}}$.

Круговая орбита может быть стабильной или нестабильной. Если она нестабильна, небольшое возмущение может дестабилизировать орбиту, но стабильная орбита вернется в равновесие. Чтобы определить устойчивость круговой орбиты, определите вогнутость эффективного потенциала. Если вогнутость положительна, орбита устойчива:
$${\displaystyle {\frac {d^{2}U_{\text{eff}}}{dr^{2}}}>0}$$

Частота малых колебаний, используя основной гамильтонианный анализ, равна
$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {U_{\text{eff}}»}{m}}},}$$
где двойной штрих указывает вторую производную эффективного потенциала относительно ${\displaystyle r}$ и оценивается как минимум.

Рассмотрим частицу массы m, вращающуюся вокруг гораздо более тяжелого объекта массы M. Предположим, что ньютоновская механика является одновременно классической и нерелятивистской. Сохранение энергии и углового момента дает две константы E и L, которые имеют значения
$${\displaystyle E={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-{\frac {GmM}{r}},}$$
$${\displaystyle L=mr^{2}{\dot {\phi }}}$$
когда движение большей массы незначительно. В этих выражениях

Нужны только две переменные, поскольку движение происходит в плоскости. Подстановка второго выражения в первое и перестановка дает
$${\displaystyle m{\dot {r}}^{2}=2E-{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}+{\frac {2GmM}{r}}=2E-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {L^{2}}{m}}-2GmMr\right),}$$
$${\displaystyle {\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}=E-U_{\text{eff}}(r),}$$
где
$${\displaystyle U_{\text{eff}}(r)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r}}}$$
– эффективный потенциал. Исходная задача с двумя переменными была сведена к задаче с одной переменной. Для многих приложений эффективный потенциал можно рассматривать точно так же, как потенциальную энергию одномерной системы: например, энергетическая диаграмма, использующая эффективный потенциал, определяет поворотные точки и места стабильного и нестабильного равновесия. Подобный метод можно использовать и в других приложениях, например, для определения орбит в общей релятивистской метрике Шварцшильда.

Эффективные потенциалы широко используются в различных областях конденсированных сред, например. потенциал ядра Гаусса (Ликос 2002, Баерле 2004) и экранированный кулоновский потенциал (Ликос 2001).