Движение снаряда

Движение снаряда — это форма движения, испытываемая объектом или частицей (снарядом), которая проецируется в гравитационном поле, например, с поверхности Земли, и движется по искривленной траектории только под действием силы тяжести. . В частном случае движения снаряда по Земле большинство расчетов предполагают, что влияние сопротивления воздуха пассивно и незначительно. Искривленная траектория объектов при движении снаряда, как показал Галилей, представляет собой параболу, но может также быть прямой линией в особом случае, когда ее бросают прямо вверх или вниз. Изучение таких движений называется баллистикой, а такая траектория — баллистической траекторией. Единственная сила математического значения, активно действующая на объект, — это сила тяжести, которая действует вниз, сообщая, таким образом, объекту ускорение вниз по направлению к центру масс Земли. Из-за инерции объекта не требуется никакой внешней силы для поддержания горизонтальной составляющей скорости движения объекта. Учет других сил, таких как аэродинамическое сопротивление или внутреннее движение (например, в ракете), требует дополнительного анализа. Баллистическая ракета — это ракета, управляемая только в течение относительно короткого начального этапа полета с двигателем, оставшийся курс которой определяется законами классической механики.

Баллистика (от др.-греч. βάλλειν bállein «бросать») — это наука о динамике, которая изучает полет, поведение и воздействие снарядов, особенно пуль, неуправляемых бомб, ракет и т. п.; наука или искусство проектирования и ускорения снарядов для достижения желаемых характеристик.

Элементарное уравнение баллистики игнорирует почти все факторы, за исключением начальной скорости и предполагаемого постоянного гравитационного ускорения. Практические решения задач баллистики часто требуют учета сопротивления воздуха, бокового ветра, движения цели, изменения ускорения силы тяжести, а в таких задачах, как запуск ракеты из одной точки Земли в другую, вращения Земли. Подробные математические решения практических задач обычно не имеют решений в замкнутой форме и поэтому требуют численных методов для решения.

При движении снаряда горизонтальное и вертикальное движение независимы друг от друга; то есть ни одно движение не влияет на другое. Это принцип составного движения, установленный Галилеем в 1638 году и использованный им для доказательства параболической формы движения снаряда.

Баллистическая траектория — это парабола с однородным ускорением, например, на космическом корабле с постоянным ускорением при отсутствии других сил. На Земле ускорение меняет величину с высотой и направление с широтой/долготой. Это приводит к эллиптической траектории, которая в небольшом масштабе очень близка к параболе. Однако если бы был брошен объект и Земля внезапно заменилась черной дырой равной массы, стало бы очевидно, что баллистическая траектория является частью эллиптической орбиты вокруг этой черной дыры, а не параболы, уходящей в бесконечность. На более высоких скоростях траектория также может быть круговой, параболической или гиперболической (если только она не искажается другими объектами, такими как Луна или Солнце). В этой статье предполагается однородное ускорение.

Поскольку ускорение имеет место только в вертикальном направлении, скорость в горизонтальном направлении постоянна и равна ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}\cos \theta }$. Вертикальное движение снаряда — это движение частицы при ее свободном падении. Здесь ускорение постоянно и равно g. Компонентами ускорения являются:

*Ускорение Y также можно назвать силой земли, действующей на интересующий объект(ы).

Пусть снаряд запущен с начальной скоростью ${\displaystyle \mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}}$, которую можно выразить как сумму горизонтальной и вертикальной составляющих следующим образом:

Компоненты ${\displaystyle v_{0x}}$ и ${\displaystyle v_{0y}}$ можно найти, если начальный угол запуска, ${\displaystyle \theta }$, известно:

Горизонтальная составляющая скорости объекта остается неизменной на протяжении всего движения. Вертикальная составляющая скорости изменяется линейно, поскольку ускорение свободного падения постоянно. Ускорения в направлениях x и y можно интегрировать для определения компонентов скорости в любой момент времени t следующим образом:

Величина скорости (по теореме Пифагора, также известной как закон треугольника):

В любой момент времени ${\displaystyle t}$ горизонтальное и вертикальное смещение снаряда составляет:

Величина смещения равна:

Рассмотрим уравнения

Если исключить t между этими двумя уравнениями, получится следующее уравнение:

Здесь R — дальность полета снаряда.

Поскольку g, θ и v₀ являются константами, приведенное выше уравнение имеет вид

в котором a и b являются константами. Это уравнение параболы, поэтому путь параболический. Ось параболы вертикальна.

Если положение снаряда (x,y) и угол запуска (θ или α) известны, начальную скорость можно найти, решив для v₀ в вышеупомянутом параболическом уравнении:

Параболическая траектория снаряда также может быть выражена в полярных координатах вместо декартовых координат. В этом случае позиция имеет общую формулу

В этом уравнении начало координат — это середина горизонтальной дальности полета снаряда, а если земля плоская, параболическая дуга строится в диапазоне ${\displaystyle 0\leq \phi \leq \pi }$. Это выражение можно получить путем преобразования декартова уравнения, как указано выше, с помощью ${\displaystyle y=r\sin \phi }$ и ${\displaystyle x=r\cos \phi }$< /пролет>.

Общее время t, в течение которого снаряд остается в воздухе, называется временем полета.

После полета снаряд возвращается к горизонтальной оси (ось X), поэтому ${\displaystyle y=0}$.

Обратите внимание, что мы пренебрегли сопротивлением воздуха на снаряде.

Если стартовая точка находится на высоте y₀ относительно точки удара, время полета составит:

Как и выше, это выражение можно свести к

если θ равен 45°, а y₀ равен 0.

Как показано выше в разделе Смещение, горизонтальная и вертикальная скорости снаряда не зависят друг от друга.

Благодаря этому мы можем найти время достижения цели, используя формулу перемещения для горизонтальной скорости:

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {x}{t}}=v_{0}\cos(\theta )}$

${\displaystyle t={\frac {x}{v_{0}\cos(\theta )}}}$

Это уравнение даст общее время t, за которое снаряд должен пройти, чтобы достичь горизонтального смещения цели, пренебрегая сопротивлением воздуха.

Наибольшая высота, которой достигнет объект, называется пиком движения объекта.
Увеличение высоты будет продолжаться до ${\displaystyle v_{y}=0}$, то есть

Время достижения максимальной высоты (ч):

Для вертикального смещения максимальной высоты снаряда:

Максимально достижимая высота получается при θ=90°:

Если известны положение снаряда (x,y) и угол вылета (θ), максимальную высоту можно найти, решив для h следующее уравнение:

Угол подъема (φ) на максимальной высоте определяется по формуле:

Связь между диапазоном d на горизонтальной плоскости и максимальной высотой h, достигнутой в ${\displaystyle {\frac {t_{d}}{2}}}$ является:

Дальность и максимальная высота снаряда не зависят от его массы. Следовательно, дальность и максимальная высота равны для всех тел, брошенных с одинаковой скоростью и направлением.
Горизонтальная дальность d снаряда — это горизонтальное расстояние, которое он прошел, когда вернулся на свою первоначальную высоту (${\displaystyle y=0}$).

Время достижения земли:

Из горизонтального смещения максимальная дальность полета снаряда:

так

Обратите внимание, что d имеет максимальное значение, когда

что обязательно соответствует

или

Общее пройденное горизонтальное расстояние (d).

Когда поверхность плоская (начальная высота объекта равна нулю), пройденное расстояние:

Таким образом, максимальное расстояние получается, если θ составляет 45 градусов. Это расстояние равно:

Согласно теореме о работе-энергии, вертикальная составляющая скорости равна:

Эти формулы игнорируют аэродинамическое сопротивление, а также предполагают, что площадка приземления находится на одинаковой высоте 0.

«Угол досягаемости» — это угол (θ), под которым должен быть запущен снаряд, чтобы пройти расстояние d, учитывая начальную скорость v< /вар>.

Есть два решения:

и поскольку ${\displaystyle \sin(2\theta )=\cos(2\theta -90^{\circ })}$,

Для поражения цели на дальности x и высоте y при стрельбе из (0,0) и с начальной скоростью v необходимый угол(ы) запуска θ:

Два корня уравнения соответствуют двум возможным углам запуска, если они не являются мнимыми, и в этом случае начальная скорость недостаточно велика, чтобы достичь точки (x, y) выбрано. Эта формула позволяет найти необходимый угол запуска без ограничения ${\displaystyle y=0}$.

Можно также спросить, какой угол запуска обеспечивает минимально возможную скорость запуска. Это происходит, когда два приведенных выше решения равны, а это означает, что величина под знаком квадратного корня равна нулю. Для этого необходимо решить квадратное уравнение для ${\displaystyle v^{2}}$, и мы находим

Это дает

Если обозначить угол, тангенс которого равен y/x, через α, то

Из этого следует

Другими словами, пуск должен происходить под углом посередине между целью и Зенитом (вектор, противоположный Гравитации).

Длина параболической дуги, очерчиваемой снарядом L при одинаковой высоте старта и приземления и отсутствии сопротивления воздуха, определяется по формуле:

где ${\displaystyle v_{0}}$ — начальная скорость, ${\displaystyle \theta }$ — угол запуска и < span>${\displaystyle g}$ — это ускорение силы тяжести как положительное значение. Выражение можно получить путем вычисления интеграла длины дуги для параболы высота-расстояние между границами начального и конечного смещения (т.е. между 0 и горизонтальной дальностью полета снаряда). такой, что:

Если время полета t,

Сопротивление воздуха создает силу, которая (для симметричных снарядов) всегда направлена ​​против направления движения в окружающей среде и имеет величину, зависящую от абсолютной скорости: ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}} }$< /пролет>. Зависимость силы трения от скорости является линейной (${\displaystyle f(v)\propto v}$) на очень низких скоростях (сопротивление Стокса) и квадратичной (<< MATH2>>) на больших скоростях (сопротивление Ньютона). Переход между этими поведениями определяется числом Рейнольдса, которое зависит от скорости, размера объекта и кинематической вязкости среды. Для чисел Рейнольдса ниже примерно 1000 зависимость линейная, выше становится квадратичной. В воздухе, кинематическая вязкость которого составляет около ${\displaystyle 0.15\,\mathrm {cm^{2}/s} }$, это означает, что сила сопротивления становится квадратичной по v, когда произведение скорость и диаметр больше, чем примерно ${\displaystyle 0.015\,\mathrm {m^{2}/s} }$, что обычно бывает для снарядов.

Диаграмма свободного тела справа предназначена для снаряда, испытывающего сопротивление воздуха и силу тяжести. Здесь предполагается, что сопротивление воздуха направлено в направлении, противоположном скорости снаряда: ${\displaystyle \mathbf {F_{\mathrm {air} }} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}} }$

Сопротивление Стокса, где ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} \propto \mathbf {v} }$, применяется только при очень низкой скорости в воздухе и, таким образом, не является типичным случаем для снарядов. Однако линейная зависимость ${\displaystyle F_{\mathrm {air} }}$ от ${\displaystyle v}$ приводит к очень простому дифференциалу уравнение движения

в котором два декартовых компонента становятся полностью независимыми и, следовательно, их легче решить.
Здесь ${\displaystyle v_{0}}$, ${\displaystyle v_{x}}$ и << MATH2>> будет использоваться для обозначения начальной скорости, скорости в направлении x и скорости в направлении y, соответственно. Масса снаряда будет обозначаться m и ${\displaystyle \mu :=k/m}$. Для вывода рассматривается только случай, когда ${\displaystyle 0^{o}\leq \theta \leq 180^{o}}$. И снова снаряд запускается из начала координат (0,0).

Наиболее типичным случаем сопротивления воздуха для случая чисел Рейнольдса выше примерно 1000 является сопротивление Ньютона с силой сопротивления, пропорциональной квадрату скорости, ${\displaystyle F_{\mathrm {air} }=-kv^{2}}$. В воздухе, кинематическая вязкость которого составляет около ${\displaystyle 0.15\,\mathrm {cm^{2}/s} }$, это означает, что произведение скорости и диаметра должно быть больше, чем примерно < <МАТ2>>.

К сожалению, в этом случае уравнения движения нельзя легко решить аналитически. Поэтому будет рассмотрено численное решение.

Сделаны следующие предположения:

Хотя общий случай снаряда с сопротивлением Ньютона не может быть решен аналитически, некоторые частные случаи могут быть решены. Здесь мы обозначаем конечную скорость в свободном падении как ${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {g/\mu }}}$ и характерную постоянную времени стабилизации ${\displaystyle t_{f}=1/{\sqrt {g\mu }}}$.

Движение снаряда с сопротивлением может быть вычислено в общем виде путем численного интегрирования обычного дифференциального уравнения, например, путем применения редукции к системе первого порядка. Уравнение, которое необходимо решить, имеет вид

Этот подход также позволяет добавлять эффекты зависящего от скорости коэффициента сопротивления, зависящей от высоты плотности воздуха и зависящего от положения гравитационного поля.

Частным случаем баллистической траектории ракеты является поднятая траектория — траектория с апогеем, большим, чем траектория с минимальной энергией на ту же дальность. Другими словами, ракета летит выше и при этом использует больше энергии, чтобы добраться до той же точки приземления. Это может быть сделано по разным причинам, например, для увеличения расстояния до горизонта для увеличения дальности обзора/связи или для изменения угла падения ракеты при приземлении. Лофт-траектории иногда используются как в ракетной технике, так и в космических полетах.

Когда снаряд без сопротивления воздуха преодолевает расстояние, значительное по сравнению с радиусом Земли (более ≈100 км), необходимо учитывать кривизну Земли и неоднородную гравитацию Земли. Так обстоит дело, например, с космическими кораблями или межконтинентальными снарядами. Затем траектория обобщается от параболы до эллипса Кеплера с одним фокусом в центре Земли. Тогда движение снаряда следует законам движения планет Кеплера.

Параметры траекторий должны быть адаптированы из значений однородного гравитационного поля, указанных выше. Радиус Земли принимается как R, а g как стандартная поверхностная гравитация. Пусть ${\displaystyle {\tilde {v}}:=v/{\sqrt {Rg}}}$ — скорость запуска относительно первой космической скорости.

Общий диапазон d между запуском и воздействием:

Максимальная дальность полета снаряда для оптимального угла запуска (${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{2}}\arccos \left({\tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v}}^{2})\right)}$):

Максимальная высота снаряда над поверхностью планеты:

Максимальная высота снаряда для вертикального запуска (${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$):

Время полета: