Акустоэластичный эффект

акустоупругий эффект – это то, как изменяются скорости звука (как продольные, так и поперечные волны) упругого материала под воздействием поля начальных статических напряжений. Это нелинейный эффект определяющей зависимости между механическим напряжением и конечной деформацией в материале сплошной массы. В классической теории линейной упругости небольшие деформации большинства упругих материалов можно описать линейной зависимостью между приложенным напряжением и результирующей деформацией. Это соотношение широко известно как обобщенный закон Гука. Линейная теория упругости включает упругие постоянные второго порядка (например,

λ

{\displaystyle \lambda }

и

мкм

{\displaystyle \mu }

) и обеспечивает постоянную скорость продольного и поперечного звука в упругом материале, на который не влияет приложенное напряжение. С другой стороны, акустоупругий эффект включает в себя расширение более высокого порядка определяющего соотношения (нелинейная теория упругости) между приложенным напряжением и результирующей деформацией, что дает скорости продольного и поперечного звука, зависящие от напряженного состояния материала. В пределе ненапряженного материала воспроизводятся скорости звука линейной теории упругости.

Акустоупругий эффект был исследован еще в 1925 году Бриллюэном. Он обнаружил, что скорость распространения акустических волн будет уменьшаться пропорционально приложенному гидростатическому давлению. Однако следствием его теории было то, что звуковые волны перестанут распространяться при достаточно большом давлении. Позже было показано, что этот парадоксальный эффект вызван неверным предположением о том, что давление не влияет на упругие параметры.

В 1937 году Фрэнсис Доминик Мурнаган представил математическую теорию, расширяющую линейную теорию упругости, включив в нее также конечную деформацию в упругих изотропных материалах. Эта теория включала три упругие константы третьего порядка ${\displaystyle l}$, < span class="mwe-math-element">${\displaystyle m}$< img alt="{\displaystyle m}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert Skin-invert" src="https://.org/api/rest_v1/ media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" style="vertical-align: -0.338ex; ширина:2.04ex; высота:1.676ex;"/> и ${\displaystyle n}$. В 1953 году Хьюз и Келли использовали теорию Мурнагана в своей экспериментальной работе, чтобы установить числовые значения упругих констант более высокого порядка для нескольких упругих материалов, включая полистирол, железо Armco и пирекс, подвергнутых гидростатическому давлению и одноосному сжатию.

Нелинейная теория упругости гиперупругих материалов

Акустоупругий эффект — это эффект конечной деформации нелинейно-упругих материалов. Современное подробное описание этого вопроса можно найти в . В этой книге рассматриваются применение нелинейной теории упругости и анализ механических свойств твердых материалов, способных к большим упругим деформациям. Частный случай акустоупругой теории для сжимаемого изотропного гиперупругого материала, такого как поликристаллическая сталь, воспроизведен и показан в этом тексте на основе нелинейной теории упругости, представленной Огденом.

Note that the setting in this text as well as in is isothermal, and no reference is made to thermodynamics.

Определяющее соотношение – гиперупругие материалы (соотношение напряжение-деформация)

Гиперупругий материал — это частный случай упругого материала Коши, в котором напряжение в любой точке объективно и определяется только текущим состоянием деформации по отношению к произвольной исходной конфигурации (более подробно о деформации см. также страницы Деформация (механика) ) и Конечная деформация). Однако работа, совершаемая напряжениями, может зависеть от пути деформации. Следовательно, упругий материал Коши имеет неконсервативную структуру, и напряжение не может быть получено из скалярной потенциальной функции упругости. Особый случай упругих материалов Коши, когда работа, совершаемая напряжениями, не зависит от пути деформации, называется упругим по Грину или гиперупругим материалом. Такие материалы консервативны, и напряжения в материале можно определить с помощью скалярного упругого потенциала, более известного как функция плотности энергии деформации.

Определяющая связь между напряжением и деформацией может быть выражена в различных формах в зависимости от выбранных форм напряжения и деформации. Выбор первого тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа < >< /span> (который представляет собой транспонирование номинального тензора напряжений ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{T}={\boldsymbol {N}}}$), материальное уравнение для сжимаемого гиперэластичного материала может быть выражено через лагранжеву деформацию Грина (${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$) как:
$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{ij}=F_{ik}~{\frac {\partial W}{\partial E_{kj}}},\qquad i,j=1,2,3~,}$$
где ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ — градиент деформации тензор, и где второе выражение использует соглашение Эйнштейна о суммировании для индексной записи тензоров. ${\displaystyle W}$ — функция плотности энергии деформации для гиперупругого материала и были определены на единицу объема, а не на единицу массы, поскольку это позволяет избежать необходимости умножать правую часть на плотность массы ${\displaystyle \rho _{0}}$ эталонной конфигурации.

Предполагая, что скалярная функция плотности энергии деформации ${\displaystyle W({\boldsymbol {E}})}$ может быть аппроксимирована с помощью разложения в ряд Тейлора в текущей деформации ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$, его можно выразить (в индексной нотации) как:
$${\displaystyle W\approx C_{0}+C_{ij}E_{ij}+{\frac {1}{2!}}C_{ijkl}E_{ij}E_{kl}+{\frac {1}{3!}}C_{ijklmn}E_{ij}E_{kl}E_{mn}+\cdots }$$
Наложение ограничений, что функция энергии деформации должна быть равна нулю и иметь минимум, когда материал находится в недеформированном состоянии (т. е. ${\displaystyle W(E_{ij}=0)=0}$ ) ясно, что в функции энергии деформации нет постоянного или линейного члена, и поэтому:
$${\displaystyle W\approx {\frac {1}{2!}}C_{ijkl}E_{ij}E_{kl}+{\frac {1}{3!}}C_{ijklmn}E_{ij}E_{kl}E_{mn}+\cdots ,}$$
где ${\displaystyle C_{ijkl}}$ — тензор четвертого порядка модули упругости второго порядка, а << MATH6>> тензор шестого порядка модулей упругости третьего порядка.
Симметрия ${\displaystyle E_{ij}=E_{ji}}$< /span> вместе со скалярной функцией плотности энергии деформации < > подразумевает, что модули второго порядка ${\displaystyle C_{ijkl}}$< /span> имеют следующую симметрию:
$${\displaystyle C_{ijkl}=C_{jikl}=C_{ijlk},}$$ < /пролет>
которые уменьшают количество независимых упругих констант с 81 до 36. Кроме того, степенное разложение подразумевает, что модули второго порядка также имеют основную симметрию
$${\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij},}$$
что еще больше уменьшает количество независимых упругих констант до 21. Те ​​же аргументы можно использовать для упругих модулей третьего порядка ${\displaystyle C_{ijklmn}}$. Эта симметрия также позволяет выражать модули упругости с помощью нотации Фойгта (т. е. ${\displaystyle C_{ijkl}=C_{IJ}}$ и ${\displaystyle C_{ijklmn}=C_{IJK}}$).

Тензор градиента деформации можно выразить в компонентной форме как
$${\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{j}}}+\delta _{ij},}$$
где ${\displaystyle u_{i}}$ — смещение материальной точки ${\displaystyle P}$ из координаты ${\displaystyle X_{i}}$ в эталонной конфигурации для координации ${\displaystyle x_{i}}$ в деформированной конфигурации (см. рисунок 2 на странице теории конечных деформаций). Включение степенного разложения функции энергии деформации в определяющее соотношение и замена лагранжева тензора деформации ${\displaystyle E_{kl}}$ с расширением, указанным на странице тензора конечной деформации, дает результат (обратите внимание, что строчные буквы ${\displaystyle u}$ использовались в этом разделе по сравнению с верхними буквами на странице конечной деформации) определяющее уравнение
$${\displaystyle P_{ij}=C_{ijkl}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}}+{\frac {1}{2}}M_{ijklmn}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}}{\frac {\partial u_{m}}{\partial X_{n}}}+{\frac {1}{3}}M_{ijklmnpq}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}}{\frac {\partial u_{m}}{\partial X_{n}}}{\frac {\partial u_{p}}{\partial X_{q}}}+\cdots ,}$$
где
$${\displaystyle M_{ijklmn}=C_{ijklmn}+C_{ijln}\delta _{km}+C_{jnkl}\delta _{im}+C_{jlmn}\delta _{ik},}$$
и члены более высокого порядка были проигнорированы
(см. подробные выводы).
Для справкиM, пренебрегая терминами более высокого порядка в < > это выражение сводится к
${\displaystyle P_{ij}=C_{ijkl}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}},}$
который является версией обобщенного закона Гука, где ${\displaystyle P_{ij}}$ — это мера напряжения, а < > — это мера напряжения, а ${\displaystyle C_{ijkl}}$ — это линейная связь между ними.

Скорость звука

Предполагая, что небольшая динамическая (акустическая) деформация нарушает уже статически напряженный материал, акустоупругий эффект можно рассматривать как воздействие на небольшую деформацию, наложенную на большую конечную деформацию (также называемую теорией малого-к-большому). Определим три состояния данной материальной точки. В исходном (ненапряженном) состоянии точка определяется вектором координат ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ в то время как та же точка имеет вектор координат ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ в статическом первоначально напряженном состоянии (т.е. под действием приложенного предварительного напряжения). Наконец, предположим, что материальная точка под небольшим динамическим возмущением (полем акустических напряжений) имеет вектор координат ${\displaystyle {\boldsymbol {x’}}}$. Тогда общее смещение материальных точек (под влиянием как статического предварительного напряжения, так и динамического акустического возмущения) можно описать векторами смещения
$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {u}}^{(0)}+{\boldsymbol {u}}^{(1)}={\boldsymbol {x’}}-{\boldsymbol {X}},}$$
где
$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(0)}={\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}},\qquad {\boldsymbol {u}}^{(1)}={\boldsymbol {x’}}-{\boldsymbol {x}}}$$
описывает статическое (лагранжево) начальное смещение из-за приложенного предварительного напряжения и (эйлерово) смещение из-за акустического возмущения соответственно.
Первый закон движения Коши (или баланса линейного момента) для дополнительного эйлерова возмущения ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(1)}}$ затем может быть получено с помощью промежуточной лагранжевой деформации ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(0)}}$ при условии, что предположение «маленькое к большому»
$${\displaystyle |{\boldsymbol {u}}^{(1)}|\ll |{\boldsymbol {u}}^{(0)}|}$$
держит.
Используя лагранжеву форму первого закона движения Коши, где эффект постоянной массовой силы (т.е. гравитацией) пренебрегли, дает
$${\displaystyle \operatorname {Div} {\boldsymbol {P}}=\rho _{0}{\ddot {{\boldsymbol {x}}’}}.}$$

Note that the subscript/superscript «0» is used in this text to denote the un-stressed reference state, and a dotted variable is as usual the time (

t

{\displaystyle t}

) derivative of the variable, and ${\displaystyle \operatorname {Div} }$ is the divergence operator with respect to the Lagrangian coordinate system ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$.

Правая часть (часть, зависящая от времени) закона движения может быть выражена как
$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{0}{\ddot {{\boldsymbol {x}}’}}&=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}({\boldsymbol {u}}^{(0)}+{\boldsymbol {u}}^{(1)}+{\boldsymbol {X}})\\&=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}^{(1)}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$
в предположении, что как ненапряженное состояние, так и начальное состояние деформации являются статическими и, таким образом, ${\textstyle \partial ^{2}{\boldsymbol {u}}^{(0)}/\partial t^{2}=\partial ^{2}{\boldsymbol {X}}/\partial t^{2}=0}$.

Для левой части (часть, зависящая от пространства) пространственные частные производные Лагранжа относительно ${\displaystyle X_{j}}$ можно расширить в эйлеровом формате ${\displaystyle x_{j}}$ с помощью цепного правила и изменения переменных через соотношение между векторами смещения, как
$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial X_{j}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}+u_{k,j}^{(0)}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}+\cdots }$$ < /пролет>
где краткая форма ${\displaystyle u_{k,j}^{(0)}\equiv \partial u_{k}^{(0)}/\partial x_{j}}$ . Таким образом
$${\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial X_{j}}}\approx {\frac {\partial P_{ij}}{\partial x_{j}}}+u_{p.j}^{(0)}{\frac {\partial P_{ij}}{\partial x_{p}}}}$$
Предполагая далее, что статическая начальная деформация << MATH5>> (предварительно напряженное состояние) находится в равновесии, что означает, что ${\displaystyle \operatorname {Div} {\boldsymbol {P}}^{(0)}={\boldsymbol {0}}}$, а закон движения в сочетании с приведенным выше определяющим уравнением может быть сведено к линейной зависимости (т.е. где члены более высокого порядка в < >) между статической начальной деформацией ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(0)}}$ и дополнительное динамическое возмущение в стиле ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(1)}({\boldsymbol {x}},t)}$ as (см. подробные выводы)
$${\displaystyle B_{ijkl}{\frac {\partial ^{2}u_{k}^{(1)}}{\partial x_{j}\partial x_{l}}}=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}u_{i}^{(1)}}{\partial t^{2}}},}$$
где
$${\displaystyle B_{ijkl}=C_{ijkl}+\delta _{ik}C_{jlqr}u_{q,r}^{(0)}+C_{rjkl}u_{i,r}^{(0)}+C_{irkl}u_{j,r}^{(0)}+C_{ijrl}u_{k,r}^{(0)}+C_{ijkr}u_{l,r}^{(0)}+C_{ijklmn}u_{m,n}^{(0)}.}$$
Это выражение принято называть линейным волновым уравнением. Рассматривая плоскую волну вида
$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(1)}({\boldsymbol {x}},t)={\boldsymbol {m}}\,f({\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {x}}-ct),}$$
где ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$ — лагранжева единица вектор в направлении распространения (т. е. параллельно волновому числу ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}=k{\boldsymbol {N}}}$ перпендикулярно фронту волны), ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$ — единичный вектор, называемый вектором поляризации (описывающий направление движения частицы), ${\displaystyle c}$ — скорость фазовой волны, а ${\displaystyle f}$ — дважды непрерывно дифференцируемая функция (например, синусоидальная функция). Подставляя эту плоскую волну в полученное выше линейное волновое уравнение, получаем
$${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}}){\boldsymbol {m}}=\rho _{0}c^{2}{\boldsymbol {m}}}$$
где ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})}$ представлен как акустический тензор и зависит от ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$ как
$${\displaystyle [{\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})]_{ik}=B_{ijkl}N_{j}N_{l}.}$$
Это выражение называется условием распространения и определяет заданное направление распространения ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$ скорость и поляризация возможных волн, соответствующих плоским волнам. Скорости волн можно определить по характеристическому уравнению
$${\displaystyle \det({\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})-\rho _{0}c^{2}{\boldsymbol {I}})=0,}$$
где ${\displaystyle \det }$ является определителем, а ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$ — это идентификационная матрица.

Для гиперупругого материала ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})}$ симметричен (но не в целом), а собственные значения (${\displaystyle \rho _{0}c^{2}}$), таким образом, являются реальными. Чтобы скорости волн также были действительными, собственные значения должны быть положительными. Если это так, то для данного направления распространения существуют три взаимно ортогональные действительные плоские волны ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$. Из двух выражений акустического тензора ясно, что
$${\displaystyle \rho _{0}c^{2}={\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}}){\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {m}}=B_{ijkl}N_{j}N_{l}m_{i}m_{k},}$$
и неравенство ${\displaystyle B_{ijkl}N_{j}N_{l}m_{i}m_{k}>0}$< /span> (также называемое условием сильной эллиптичности) для всех ненулевых векторов ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$ гарантируют, что скорость однородных плоских волн реальна. Поляризация ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}={\boldsymbol {N}}}$ соответствует продольной волне, в которой движение частицы параллельно направлению распространения (также называемой волной сжатия). Две поляризации, где ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {N}}=0}$ соответствует поперечным волнам, в которых движение частиц ортогонально направлению распространения (также называемым поперечными волнами).

Изотропные материалы

Модули упругости для изотропных материалов

Для изотропного тензора второго порядка (т. е. тензора, имеющего те же компоненты в любой системе координат), такого как тензор деформации Лагранжа ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ имеют инварианты ${\displaystyle \operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{q}}$ где ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ — оператор трассировки, а ${\displaystyle q\in \left\{1,2,3,\dots \right\}}$. Функция энергии деформации изотропного материала может быть, таким образом, выражена как ${\displaystyle W({\boldsymbol {E}})=W(\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{q}),\,k\in \left\{1,2,3,\ldots \right\}}$, или их суперпозиция, которую можно переписать как
$${\displaystyle W={\frac {\lambda }{2}}(\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}})^{2}+\mu \operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{2}+{\frac {C}{3}}(\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}})^{3}+B(\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}})\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{2}+{\frac {A}{3}}\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{3}+\cdots ,}$$
где ${\displaystyle \lambda ,\mu ,A,B,C}$ являются константами. Константы ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$ — это модули упругости второго порядка, более известные как параметры Ламе, а ${\displaystyle A,B,}$ и ${\displaystyle C}$ — это модули упругости третьего порядка, введенные , которые являются альтернативой, но эквивалентны ${\displaystyle l,m,}$ и ${\displaystyle n}$ представлен Мурнаганом.
Объединив это с общим выражением для функции энергии деформации, становится ясно, что
$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{ijkl}&=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+2\mu \delta I_{ijkl},\\C_{ijklmn}&=2C\delta _{ij}\delta _{kl}\delta _{mn}+2B(\delta _{ij}I_{klmn}+\delta _{kl}I_{mnij}+\delta _{mn}I_{ijkl})+{\frac {1}{2}}A(\delta _{ik}I_{jlmn}+\delta _{il}I_{jkmn}+\delta _{jk}I_{ilmn}+\delta _{jl}I_{ikmn}),\end{aligned}}\!\,}$$
где ${\displaystyle I_{ijkl}={\frac {1}{2}}(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk})}$. Исторически использовались различные варианты выбора этих упругих констант третьего порядка, некоторые из них показаны в Таблице 1.

Примеры значений для стали

В таблицах 2 и 3 представлены упругие постоянные второго и третьего порядка для некоторых марок сталей, представленных в литературе.

Акустоупругость при одноосном растяжении изотропных гиперупругих материалов

Кубовидный образец сжимаемого твердого тела в ненапряженной базовой конфигурации может быть выражен декартовыми координатами ${\displaystyle X_{i}\in [0,L_{i}],\,i=1,2,3}$, где геометрия выровнена по лагранжевой системе координат, и ${\displaystyle L_{i}}$ — длина сторон кубоида в базовой конфигурации. Подвергание кубоида одноосному растяжению в классе ${\displaystyle x_{1}}$-направление, чтобы оно деформировалось с чистой однородной деформацией, так что координаты материальных точек в деформированной конфигурации могут быть выражены как ${\displaystyle x_{1}=\lambda _{1}X_{1},x_{2}=\lambda _{2}X_{2},x_{3}=\lambda _{3}X_{3}}$, что дает
удлинения
$${\displaystyle e_{i}\equiv l_{i}/L_{i}-1=\lambda _{i}-1}$$
в ${\displaystyle x_{i}}$-direction. Здесь ${\displaystyle l_{i}}$ обозначает текущую (деформированную) длину стороны кубоида ${\displaystyle i}$ и где соотношение длины сторон в текущей и эталонной конфигурации обозначаются
$${\displaystyle \lambda _{i}\equiv l_{i}/L_{i}}$$
называемые главными участками. Для изотропного материала это соответствует деформации без какого-либо вращения (см. полярное разложение тензора градиента деформации, где ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {RU}}={\boldsymbol {VR}}}$ и вращение ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {I}}}$). Это можно описать посредством спектрального представления с помощью основных участков ${\displaystyle \lambda _{i}}$ как собственные значения или, что эквивалентно, посредством удлинений ${\displaystyle e_{i}}$.

Для одноосного растяжения в <>-direction (${\displaystyle P_{11}>0}$ мы предполагаем, что ${\displaystyle e_{1}}$ увеличьте на некоторую величину. Если боковые грани свободны от сцепления (т. е. ${\displaystyle P_{22}=P_{33}=0}$) боковые удлинения ${\displaystyle e_{2}}$ и ${\displaystyle e_{3}}$ ограничены диапазоном ${\displaystyle e_{2},e_{3}\in (-1,0]}$. Для изотропной симметрии боковые удлинения (или сжатия) также должны быть равными (т.е. ${\displaystyle e_{2}=e_{3}}$). Диапазон соответствует диапазону от общего бокового сжатия (< span class="mwe-math-element">${\displaystyle e_{2}=e_{3}=-1}$< img alt="{\displaystyle e_{2}=e_{3}=-1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert Skin-invert" src=" https://.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010ab7120dc73a6c53f6981296bd596f1dd39d83" style="vertical-align: -0.671ex; ширина: 13.443ex; height:2.509ex;"/>, что не является физическим), и никаких изменений в поперечных размерах (${\displaystyle e_{2}=e_{3}=0}$). Отмечается, что теоретически диапазон может быть расширен до значений, больших 0, что соответствует увеличению поперечные размеры в результате увеличения осевого размера. Однако очень немногие материалы (так называемые ауксетики) обладают этим свойством.

Расширение скоростей звука

Если строгое условие эллиптичности (<>) содержит три ортогональных направления поляризации (${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$ даст ненулевую и реальную скорость звука для заданного направления распространения ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$. Ниже будут получены скорости звука для одного выбора приложенного одноосного натяжения, направления распространения и ортонормированного набора векторов поляризации. Для одноосного натяжения, приложенного в ${\displaystyle x_{1}}$-направление и определение скоростей звука для волн, распространяющихся ортогонально приложенному натяжению (например, в ${\displaystyle x_{3}}$-направление с вектором распространения < span class="mwe-math-element">${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=[0,0,1]}$< img alt="{\displaystyle {\boldsymbol {N}}=[0,0,1]}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert Skin-invert" src="https://.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faac30d520fd4d25969024cfbfacc0523f112193" style="vertical-align: -0.838ex; ширина: 12.334ex; высота: 2.843ex;"/>), один выбор ортонормированных поляризаций может быть
$${\displaystyle \{{\boldsymbol {m}}\}={\begin{cases}\mathbf {m} _{1}=\mathbf {\hat {x}} _{1}=[1,0,0]&\|\,{\text{to applied tension}}\\\mathbf {m} _{2}=\mathbf {\hat {x}} _{2}=[0,1,0]&\perp {\text{to applied tension}}\\\mathbf {m} _{3}=\mathbf {\hat {x}} _{3}=[0,0,1]&\|\,{\textrm {to}}\,\mathbf {N} \end{cases}}}$$
что дает три скорости звука
$${\displaystyle \rho _{0}c_{33}^{2}=B_{3333},\qquad \rho _{0}c_{31}^{2}=B_{1313},\qquad \rho _{0}c_{32}^{2}=B_{2323},}$$
где первый индекс ${\displaystyle i}$ скоростей звука ${\displaystyle c_{ij}}$ укажите направление распространения (здесь ${\displaystyle x_{3}}$-направление, а второй индекс ${\displaystyle j}$ указывает выбранное направление поляризации (${\displaystyle j=i}$ соответствует движению частицы в направлении распространения ${\displaystyle i}$ – т.е. продольная волна и ${\displaystyle j\neq i}$ соответствует движению частицы перпендикулярно направлению распространения – т.е. поперечной волне).

Разложение соответствующих коэффициентов акустического тензора и замена модулей упругости второго и третьего порядка ${\displaystyle C_{ijkl}}$ и ${\displaystyle C_{ijklmn}}$ с их изотропными эквивалентами, ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ и ${\displaystyle A,B,C}$ соответственно, приводит к скоростям звука, выраженным как
$${\displaystyle \rho _{0}c_{33}^{2}=\lambda +2\mu +a_{33}e_{1},\qquad \rho _{0}c_{3k}^{2}=\mu +a_{3k}e_{1},\quad k=1,2}$$
где
$${\displaystyle a_{33}=-{\frac {2\lambda (\lambda +2\mu )+\lambda A+2(\lambda -\mu )B-2\mu C}{\lambda +\mu }}}$$
$${\displaystyle a_{31}={\frac {(\lambda +2\mu )(4\mu +A)+4\mu B}{4(\lambda +\mu )}}}$$
$${\displaystyle a_{32}=-{\frac {\lambda (4\mu +A)-2\mu B}{2(\lambda +\mu )}}}$$
– коэффициенты акустоупругости, связанные с эффектами упругих постоянных третьего порядка.

Методы измерения

Чтобы иметь возможность измерить скорость звука, а точнее, изменение скорости звука в материале, находящемся в некотором напряженном состоянии, можно измерить скорость акустического сигнала, распространяющегося через рассматриваемый материал. Существует несколько способов сделать это, но все они используют одно из двух физических соотношений скорости звука. Первое соотношение связано со временем, которое требуется сигналу для распространения от одной точки к другой (обычно расстояние между двумя акустическими преобразователями или двукратное расстояние от одного преобразователя до отражающей поверхности). Это часто называют измерениями «времени полета» (TOF) и используют соотношение $${\displaystyle c={\frac {d}{t}}}$$ где ${\displaystyle d}$ — это расстояние, которое проходит сигнал, и ${\displaystyle t}$ — это время, необходимое для прохождения этого расстояния. Второе соотношение связано с обратной величиной времени, частоты сигнала. Здесь соотношение $${\displaystyle c=f\lambda }$$ где ${\displaystyle f}$ — частота сигнала и ${\displaystyle \lambda }$ — длина волны. При измерениях с использованием частоты в качестве измеряемой величины используется явление акустического резонанса, где ${\displaystyle n}$ количество длин волн соответствует длине, на которой резонирует сигнал. Оба эти метода зависят от расстояния, на котором он измеряется, либо напрямую, как во время пролета, либо косвенно через совпадение числа длин волн по физическому размеру образца, которые резонируют.

Пример методов ультразвукового контроля

В общем, существует два способа настройки системы преобразователей для измерения скорости звука в твердом теле. Один из них представляет собой установку с двумя или более преобразователями, где один действует как передатчик, а другой (другие) действует как приемник. Затем измерение скорости звука можно выполнить путем измерения времени между генерацией сигнала в передатчике и моментом его записи в приемнике, предполагая, что известно (или измерено) расстояние, которое акустический сигнал прошел между преобразователями, или наоборот. Измерьте резонансную частоту, зная толщину, на которой резонирует волна. Другой тип установки часто называют системой импульсно-эхо. Здесь один преобразователь размещается вблизи образца и действует как передатчик, так и приемник. Для этого требуется отражающий интерфейс, в котором генерируемый сигнал может отражаться обратно к преобразователю, который затем действует как приемник, записывающий отраженный сигнал. См. ультразвуковой контроль некоторых измерительных систем.

Продольные и поляризованные сдвиговые волны

Как объяснялось выше, набор из трех ортонормированных поляризаций (${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$) движения частицы существуют для заданного направления распространения ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$ в твердом теле. Для измерительных установок, в которых преобразователи могут быть закреплены непосредственно на исследуемом образце, можно создать эти три поляризации (одну продольную и две ортогональные поперечные волны), применяя преобразователи разных типов, возбуждающие нужную поляризацию (например, пьезоэлектрические преобразователи с необходимой колебательный режим). Таким образом, можно измерить скорость звука волн со всеми тремя поляризациями с помощью измерительных установок, зависящих как от времени, так и от частоты, в зависимости от выбора типа преобразователя. Однако если преобразователь невозможно закрепить на испытуемом образце, необходима связующая среда для передачи акустической энергии от преобразователя к образцу. В качестве связующей среды часто используют воду или гели. Для измерения скорости продольного звука этого достаточно, однако жидкости не переносят поперечные волны, и поэтому для того, чтобы иметь возможность генерировать и измерять скорость поперечных волн в испытуемом образце, падающая продольная волна должна взаимодействовать с жидкостью под косым углом. /твердая поверхность для генерации поперечных волн посредством преобразования мод. Такие поперечные волны затем преобразуются обратно в продольные волны на поверхности твердого тела/жидкости, распространяющиеся обратно через жидкость к записывающему преобразователю, позволяющему измерять скорости поперечных волн также через связующую среду.

Приложения

Инженерные материалы – оценка напряжений

Поскольку отрасль стремится снизить затраты на техническое обслуживание и ремонт, неразрушающий контроль конструкций становится все более ценным как для контроля производства, так и как средство измерения использования и состояния ключевой инфраструктуры. Существует несколько методов измерения напряжения в материале. Однако методы, использующие оптические измерения, магнитные измерения, дифракцию рентгеновских лучей и дифракцию нейтронов, ограничиваются измерением поверхностных или околоповерхностных напряжений или деформаций. Акустические волны легко распространяются через материалы и, таким образом, служат средством исследования внутренней части конструкций, где уровень напряжения и деформации важен для общей структурной целостности.
Поскольку скорость звука в таких нелинейно-упругих материалах (включая обычные конструкционные материалы, такие как алюминий и сталь) зависит от напряжения, одним из применений акустоупругого эффекта может быть измерение напряженного состояния внутри нагруженного материала с использованием различных акустических датчиков. (например, ультразвуковой контроль) для измерения изменения скорости звука.

Гранулированные и пористые материалы – геофизика

Сейсмология изучает распространение упругих волн через Землю и используется, например, в исследования землетрясений и картографирование недр Земли. Недра Земли подвергаются разному давлению, поэтому акустические сигналы могут проходить через среды в разных состояниях напряжения. Таким образом, акустоупругая теория может представлять практический интерес, поскольку поведение нелинейных волн можно использовать для оценки геофизических свойств.

Мягкие ткани – медицинский ультразвук

Другими приложениями могут быть медицинская сонография и эластография для измерения уровня напряжения или давления в соответствующих типах эластичных тканей.
(например.,

), совершенствование неинвазивной диагностики.